Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} p & 1 & 1 \\ q & 1 & q \\ 1 & 1 & p \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$p | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Passaggio 1.9

Add the terms together.

$p | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} | - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Passaggio 2

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$ .

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (1 p - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Passaggio 2.2

Moltiplica $p$ per $1$ .

$p (p - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$ .

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Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (p - q) - q (1 p - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $p$ per $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$ .

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Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (1 q - 1 \cdot 1)$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $q$ per $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (q - 1 \cdot 1)$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p \cdot p + p (- q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $p$ per $p$ .

$p^{2} + p (- q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p^{2} - p q - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$p^{2} - p q - q p - q \cdot - 1 + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.5

Moltiplica $- q \cdot - 1$ .

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Passaggio 5.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p^{2} - p q - q p + 1 q + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.5.2

Moltiplica $q$ per $1$ .

$p^{2} - p q - q p + q + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.6

Moltiplica $q - 1$ per $1$ .

$p^{2} - p q - q p + q + q - 1$

Passaggio 5.2

Sottrai $q p$ da $- p q$ .

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Passaggio 5.2.1

Sposta $q$ .

$p^{2} - p q - 1 p q + q + q - 1$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $p q$ da $- p q$ .

$p^{2} - 2 p q + q + q - 1$

Passaggio 5.3

Somma $q$ e $q$ .

$p^{2} - 2 p q + 2 q - 1$