Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 3 & - 1 & 8 \\ 1 & 1 & - 4 \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$| \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} | i$

Passaggio 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} | j$

Passaggio 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | k$

Passaggio 1.9

Add the terms together.

$| \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} | i - | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | k$

Passaggio 2

Calcola $| \begin{array}{c} - 1 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(- - 4 - 1 \cdot 8) i - | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | k$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$(4 - 1 \cdot 8) i - | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | k$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$(4 - 8) i - | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | k$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $8$ da $4$ .

$- 4 i - | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | k$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 4 i - (3 \cdot - 4 - 1 \cdot 8) j + | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | k$

Passaggio 3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$- 4 i - (- 12 - 1 \cdot 8) j + | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | k$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 4 i - (- 12 - 8) j + | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | k$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $8$ da $- 12$ .

$- 4 i - - 20 j + | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | k$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 4 i - - 20 j + (3 \cdot 1 - 1 \cdot - 1) k$

Passaggio 4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 4 i - - 20 j + (3 - 1 \cdot - 1) k$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 4 i - - 20 j + (3 + 1) k$

Passaggio 4.2.2

Somma $3$ e $1$ .

$- 4 i - - 20 j + 4 k$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $- 20$ .

$- 4 i + 20 j + 4 k$