Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} a & s & d \\ q & w & e \\ z & x & c \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} w & e \\ x & c \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a | \begin{array}{c} w & e \\ x & c \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} q & e \\ z & c \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- s | \begin{array}{c} q & e \\ z & c \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} q & w \\ z & x \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$d | \begin{array}{c} q & w \\ z & x \end{array} |$

Passaggio 1.9

Add the terms together.

$a | \begin{array}{c} w & e \\ x & c \end{array} | - s | \begin{array}{c} q & e \\ z & c \end{array} | + d | \begin{array}{c} q & w \\ z & x \end{array} |$

Passaggio 2

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (w c - x e) - s | \begin{array}{c} q & e \\ z & c \end{array} | + d | \begin{array}{c} q & w \\ z & x \end{array} |$

Passaggio 3

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (w c - x e) - s (q c - z e) + d | \begin{array}{c} q & w \\ z & x \end{array} |$

Passaggio 4

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (w c - x e) - s (q c - z e) + d (q x - z w)$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$a (w c) + a (- x e) - s (q c - z e) + d (q x - z w)$

Passaggio 5.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a w c - e a x - s (q c - z e) + d (q x - z w)$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$a w c - e a x - s (q c) - s (- z e) + d (q x - z w)$

Passaggio 5.4

Moltiplica $- s (- z e)$ .

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Passaggio 5.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a w c - e a x - s q c + 1 s (z e) + d (q x - z w)$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $s$ per $1$ .

$a w c - e a x - s q c + s (z e) + d (q x - z w)$

Passaggio 5.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a w c - e a x - s q c + e s z + d (q x - z w)$

Passaggio 5.6

Applica la proprietà distributiva.

$a w c - e a x - s q c + e s z + d (q x) + d (- z w)$

Passaggio 5.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a w c - e a x - s q c + e s z + d q x - d z w$