Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 2 q - 1 & 1 & 1 \\ q & 1 & q \\ 1 & 1 & 2 q - 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 q - 1) | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Passaggio 1.9

Add the terms together.

$(2 q - 1) | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Passaggio 2

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(2 q - 1) (1 (2 q - 1) - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica $2 q - 1$ per $1$ .

$(2 q - 1) (2 q - 1 - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $q$ da $2 q$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (1 (2 q - 1) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Passaggio 3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $2 q - 1$ per $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 1 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 1 - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (1 q - 1 \cdot 1)$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $q$ per $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1 \cdot 1)$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Espandi $(2 q - 1) (q - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 q (q - 1) - 1 (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 q \cdot q + 2 q \cdot - 1 - 1 (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 q \cdot q + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Moltiplica $q$ per $q$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1.1

Sposta $q$ .

$2 (q \cdot q) + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.2.1.1.2

Moltiplica $q$ per $q$ .

$2 q^{2} + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 q^{2} - 2 q - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.2.1.3

Riscrivi $- 1 q$ come $- q$ .

$2 q^{2} - 2 q - q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 q^{2} - 2 q - q + 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.2.2

Sottrai $q$ da $- 2 q$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 q^{2} - 3 q + 1 - q (2 q) - q \cdot - 2 + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q \cdot q - q \cdot - 2 + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q \cdot q + 2 q + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Moltiplica $q$ per $q$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1.1

Sposta $q$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 (q \cdot q) + 2 q + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.6.1.2

Moltiplica $q$ per $q$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q^{2} + 2 q + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.6.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + 1 (q - 1)$

Passaggio 5.1.7

Moltiplica $q - 1$ per $1$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + q - 1$

Passaggio 5.2

Combina i termini opposti in $2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + q - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $2 q^{2}$ da $2 q^{2}$ .

$- 3 q + 1 + 0 + 2 q + q - 1$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 3 q + 1$ e $0$ .

$- 3 q + 1 + 2 q + q - 1$

Passaggio 5.2.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$- 3 q + 2 q + q + 0$

Passaggio 5.2.4

Somma $- 3 q + 2 q + q$ e $0$ .

$- 3 q + 2 q + q$

Passaggio 5.3

Somma $- 3 q$ e $2 q$ .

$- q + q$

Passaggio 5.4

Somma $- q$ e $q$ .

$0$