Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 1 & x & x^{2} \\ 1 & x^{2} & x^{4} \\ 1 & x^{4} & x^{6} \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

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Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x^{4} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- x | \begin{array}{c} 1 & x^{4} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$x^{2} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$- x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Passaggio 1.9

Add the terms together.

$- x | \begin{array}{c} 1 & x^{4} \\ 1 & x^{6} \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} | - x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Passaggio 2

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & x^{4} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$ .

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- x (1 x^{6} - x^{4}) + x^{2} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} | - x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Passaggio 2.2

Moltiplica $x^{6}$ per $1$ .

$- x (x^{6} - x^{4}) + x^{2} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} | - x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$ .

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Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- x (x^{6} - x^{4}) + x^{2} (1 x^{6} - x^{2}) - x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Passaggio 3.2

Moltiplica $x^{6}$ per $1$ .

$- x (x^{6} - x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$ .

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Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- x (x^{6} - x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (1 x^{4} - x^{2})$

Passaggio 4.2

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$- x (x^{6} - x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- x \cdot x^{6} - x (- x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{6}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1.2.1

Sposta $x^{6}$ .

$- (x^{6} x) - x (- x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Passaggio 5.1.2.2

Moltiplica $x^{6}$ per $x$ .

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Passaggio 5.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- (x^{6} x^{1}) - x (- x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Passaggio 5.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- x^{6 + 1} - x (- x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Passaggio 5.1.2.3

Somma $6$ e $1$ .

$- x^{7} - x (- x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Passaggio 5.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- x^{7} - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{4} + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Passaggio 5.1.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1.4.1.1

Sposta $x^{4}$ .

$- x^{7} - 1 \cdot - 1 (x^{4} x) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Passaggio 5.1.4.1.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ .

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Passaggio 5.1.4.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- x^{7} - 1 \cdot - 1 (x^{4} x^{1}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Passaggio 5.1.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- x^{7} - 1 \cdot - 1 x^{4 + 1} + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Passaggio 5.1.4.1.3

Somma $4$ e $1$ .

$- x^{7} - 1 \cdot - 1 x^{5} + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Passaggio 5.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- x^{7} + 1 x^{5} + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Passaggio 5.1.4.3

Moltiplica $x^{5}$ per $1$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Passaggio 5.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$- x^{7} + x^{5} + x^{2} x^{6} + x^{2} (- x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Passaggio 5.1.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{6}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- x^{7} + x^{5} + x^{2 + 6} + x^{2} (- x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Passaggio 5.1.6.2

Somma $2$ e $6$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} + x^{2} (- x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Passaggio 5.1.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{2} x^{2} - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Passaggio 5.1.8

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.1

Sposta $x^{2}$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - (x^{2} x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Passaggio 5.1.8.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{2 + 2} - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Passaggio 5.1.8.3

Somma $2$ e $2$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Passaggio 5.1.9

Applica la proprietà distributiva.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{4} x^{4} - x^{4} (- x^{2})$

Passaggio 5.1.10

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.10.1

Sposta $x^{4}$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - (x^{4} x^{4}) - x^{4} (- x^{2})$

Passaggio 5.1.10.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{4 + 4} - x^{4} (- x^{2})$

Passaggio 5.1.10.3

Somma $4$ e $4$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} - x^{4} (- x^{2})$

Passaggio 5.1.11

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} - 1 \cdot - 1 x^{4} x^{2}$

Passaggio 5.1.12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.12.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.12.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{4})$

Passaggio 5.1.12.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 4}$

Passaggio 5.1.12.1.3

Somma $2$ e $4$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} - 1 \cdot - 1 x^{6}$

Passaggio 5.1.12.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} + 1 x^{6}$

Passaggio 5.1.12.3

Moltiplica $x^{6}$ per $1$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} + x^{6}$

Passaggio 5.2

Combina i termini opposti in $- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} + x^{6}$ .

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $x^{8}$ da $x^{8}$ .

$- x^{7} + x^{5} - x^{4} + 0 + x^{6}$

Passaggio 5.2.2

Somma $- x^{7} + x^{5} - x^{4}$ e $0$ .

$- x^{7} + x^{5} - x^{4} + x^{6}$