Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 1 & a & b + c \\ 1 & b & a + c \\ 1 & c & a + b \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- a | \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$- c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Passaggio 1.9

Add the terms together.

$- a | \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} | + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Passaggio 2

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- a (1 (a + b) - (a + c)) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $a + b$ per $1$ .

$- a (a + b - (a + c)) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Passaggio 2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- a (a + b - a - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Combina i termini opposti in $a + b - a - c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sottrai $a$ da $a$ .

$- a (b + 0 - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $b$ e $0$ .

$- a (b - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- a (b - c) + b (1 (a + b) - (b + c)) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Passaggio 3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $a + b$ per $1$ .

$- a (b - c) + b (a + b - (b + c)) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Passaggio 3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- a (b - c) + b (a + b - b - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Passaggio 3.2.2

Combina i termini opposti in $a + b - b - c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $b$ da $b$ .

$- a (b - c) + b (a + 0 - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $a$ e $0$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (1 (a + c) - (b + c))$

Passaggio 4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $a + c$ per $1$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a + c - (b + c))$

Passaggio 4.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a + c - b - c)$

Passaggio 4.2.2

Combina i termini opposti in $a + c - b - c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $c$ da $c$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a - b + 0)$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $a - b$ e $0$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a - b)$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- a b - a (- c) + b (a - c) - c (a - b)$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- a b - 1 \cdot - 1 a c + b (a - c) - c (a - b)$

Passaggio 5.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- a b + 1 a c + b (a - c) - c (a - b)$

Passaggio 5.1.3.2

Moltiplica $a$ per $1$ .

$- a b + a c + b (a - c) - c (a - b)$

Passaggio 5.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$- a b + a c + b a + b (- c) - c (a - b)$

Passaggio 5.1.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- a b + a c + b a - b c - c (a - b)$

Passaggio 5.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$- a b + a c + b a - b c - c a - c (- b)$

Passaggio 5.1.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- a b + a c + b a - b c - c a - 1 \cdot - 1 c b$

Passaggio 5.1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- a b + a c + b a - b c - c a + 1 c b$

Passaggio 5.1.8.2

Moltiplica $c$ per $1$ .

$- a b + a c + b a - b c - c a + c b$

Passaggio 5.2

Combina i termini opposti in $- a b + a c + b a - b c - c a + c b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Riordina i fattori nei termini di $- a b$ e $b a$ .

$- a b + a c + a b - b c - c a + c b$

Passaggio 5.2.2

Somma $- a b$ e $a b$ .

$a c + 0 - b c - c a + c b$

Passaggio 5.2.3

Somma $a c$ e $0$ .

$a c - b c - c a + c b$

Passaggio 5.2.4

Riordina i fattori nei termini di $a c$ e $- c a$ .

$a c - b c - a c + c b$

Passaggio 5.2.5

Sottrai $a c$ da $a c$ .

$- b c + 0 + c b$

Passaggio 5.2.6

Somma $- b c$ e $0$ .

$- b c + c b$

Passaggio 5.2.7

Riordina i fattori nei termini di $- b c$ e $c b$ .

$- b c + b c$

Passaggio 5.2.8

Somma $- b c$ e $b c$ .

$0$