Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} a^{4} & b^{4} & c^{4} \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} b^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a^{4} | \begin{array}{c} b^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} a^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- b^{4} | \begin{array}{c} a^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} a^{2} & b^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$c^{4} | \begin{array}{c} a^{2} & b^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.9

Add the terms together.

$a^{4} | \begin{array}{c} b^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 \end{array} | - b^{4} | \begin{array}{c} a^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 \end{array} | + c^{4} | \begin{array}{c} a^{2} & b^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2

Calcola $| \begin{array}{c} b^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a^{4} (b^{2} \cdot 1 - c^{2}) - b^{4} | \begin{array}{c} a^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 \end{array} | + c^{4} | \begin{array}{c} a^{2} & b^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.2

Moltiplica $b^{2}$ per $1$ .

$a^{4} (b^{2} - c^{2}) - b^{4} | \begin{array}{c} a^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 \end{array} | + c^{4} | \begin{array}{c} a^{2} & b^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} a^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a^{4} (b^{2} - c^{2}) - b^{4} (a^{2} \cdot 1 - c^{2}) + c^{4} | \begin{array}{c} a^{2} & b^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.2

Moltiplica $a^{2}$ per $1$ .

$a^{4} (b^{2} - c^{2}) - b^{4} (a^{2} - c^{2}) + c^{4} | \begin{array}{c} a^{2} & b^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} a^{2} & b^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a^{4} (b^{2} - c^{2}) - b^{4} (a^{2} - c^{2}) + c^{4} (a^{2} \cdot 1 - b^{2})$

Passaggio 4.2

Moltiplica $a^{2}$ per $1$ .

$a^{4} (b^{2} - c^{2}) - b^{4} (a^{2} - c^{2}) + c^{4} (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$a^{4} b^{2} + a^{4} (- c^{2}) - b^{4} (a^{2} - c^{2}) + c^{4} (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a^{4} b^{2} - a^{4} c^{2} - b^{4} (a^{2} - c^{2}) + c^{4} (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$a^{4} b^{2} - a^{4} c^{2} - b^{4} a^{2} - b^{4} (- c^{2}) + c^{4} (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a^{4} b^{2} - a^{4} c^{2} - b^{4} a^{2} - 1 \cdot - 1 b^{4} c^{2} + c^{4} (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a^{4} b^{2} - a^{4} c^{2} - b^{4} a^{2} + 1 b^{4} c^{2} + c^{4} (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $b^{4}$ per $1$ .

$a^{4} b^{2} - a^{4} c^{2} - b^{4} a^{2} + b^{4} c^{2} + c^{4} (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.6

Applica la proprietà distributiva.

$a^{4} b^{2} - a^{4} c^{2} - b^{4} a^{2} + b^{4} c^{2} + c^{4} a^{2} + c^{4} (- b^{2})$

Passaggio 5.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a^{4} b^{2} - a^{4} c^{2} - b^{4} a^{2} + b^{4} c^{2} + c^{4} a^{2} - c^{4} b^{2}$