Algebra lineare Esempi

det $[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \\ 3 & 7 & 8 \end{array}]$

Passaggio 1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi $0$ . Se non ci sono elementi $0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga $1$ per il proprio cofattore e somma.

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Passaggio 1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 1.3

Il minore per $a_{11}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Passaggio 1.4

Moltiplica l'elemento $a_{11}$ per il suo cofattore.

$3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Passaggio 1.5

Il minore per $a_{12}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} |$

Passaggio 1.6

Moltiplica l'elemento $a_{12}$ per il suo cofattore.

$- 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} |$

Passaggio 1.7

Il minore per $a_{13}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 1.8

Moltiplica l'elemento $a_{13}$ per il suo cofattore.

$1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 1.9

Somma i termini.

$3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 2

Calcola $| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$ .

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (4 \cdot 8 - 7 \cdot 5) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $4$ per $8$ .

$3 (32 - 7 \cdot 5) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 7$ per $5$ .

$3 (32 - 35) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $35$ da $32$ .

$3 \cdot - 3 - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (3 \cdot 8 - 3 \cdot 5) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $3$ per $8$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (24 - 3 \cdot 5) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $5$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (24 - 15) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $15$ da $24$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$ .

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Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (3 \cdot 7 - 3 \cdot 4)$

Passaggio 4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $3$ per $7$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (21 - 3 \cdot 4)$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (21 - 12)$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $12$ da $21$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$- 9 - 2 \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$- 9 - 18 + 1 \cdot 9$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$- 9 - 18 + 9$

Passaggio 5.2

Sottrai $18$ da $- 9$ .

$- 27 + 9$

Passaggio 5.3

Somma $- 27$ e $9$ .

$- 18$