Algebra lineare Esempi

det

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & 2 & 1 3 & 4 & 5 3 & 7 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \\ 3 & 7 & 8 \end{array}]$

Passaggio 1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi

0

$0$ . Se non ci sono elementi

0

$0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga

1

$1$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione

-

$-$ .

Passaggio 1.3

Il minore per

a_{11}

$a_{11}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

1

$1$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 7 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Passaggio 1.4

Moltiplica l'elemento

a_{11}

$a_{11}$ per il suo cofattore.

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 7 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Passaggio 1.5

Il minore per

a_{12}

$a_{12}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

2

$2$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 3 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} |$

Passaggio 1.6

Moltiplica l'elemento

a_{12}

$a_{12}$ per il suo cofattore.

- 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 3 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} |$

Passaggio 1.7

Il minore per

a_{13}

$a_{13}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

3

$3$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 1.8

Moltiplica l'elemento

a_{13}

$a_{13}$ per il suo cofattore.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 1.9

Somma i termini.

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 7 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 3 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 7 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 3 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 2

Calcola

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 7 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

3 (4 \cdot 8 - 7 \cdot 5) - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 3 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 (4 \cdot 8 - 7 \cdot 5) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica

4

$4$ per

8

$8$ .

3 (32 - 7 \cdot 5) - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 3 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 (32 - 7 \cdot 5) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica

- 7

$- 7$ per

5

$5$ .

3 (32 - 35) - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 3 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 (32 - 35) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

3 (32 - 35) - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 3 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 (32 - 35) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Sottrai

35

$35$ da

32

$32$ .

3 \cdot - 3 - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 3 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 3 - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

3 \cdot - 3 - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 3 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 3 - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

3 \cdot - 3 - 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 3 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 3 - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 3 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

3 \cdot - 3 - 2 (3 \cdot 8 - 3 \cdot 5) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 3 - 2 (3 \cdot 8 - 3 \cdot 5) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica

3

$3$ per

8

$8$ .

3 \cdot - 3 - 2 (24 - 3 \cdot 5) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 3 - 2 (24 - 3 \cdot 5) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica

- 3

$- 3$ per

5

$5$ .

3 \cdot - 3 - 2 (24 - 15) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 3 - 2 (24 - 15) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

3 \cdot - 3 - 2 (24 - 15) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 3 - 2 (24 - 15) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 3.2.2

Sottrai

15

$15$ da

24

$24$ .

3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (3 \cdot 7 - 3 \cdot 4)

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (3 \cdot 7 - 3 \cdot 4)$

Passaggio 4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica

3

$3$ per

7

$7$ .

3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (21 - 3 \cdot 4)

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (21 - 3 \cdot 4)$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica

- 3

$- 3$ per

4

$4$ .

3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (21 - 12)

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (21 - 12)$

3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (21 - 12)

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (21 - 12)$

Passaggio 4.2.2

Sottrai

12

$12$ da

21

$21$ .

3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 \cdot 9

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 \cdot 9$

3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 \cdot 9

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 \cdot 9$

3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 \cdot 9

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica

3

$3$ per

- 3

$- 3$ .

- 9 - 2 \cdot 9 + 1 \cdot 9

$- 9 - 2 \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

9

$9$ .

- 9 - 18 + 1 \cdot 9

$- 9 - 18 + 1 \cdot 9$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica

9

$9$ per

1

$1$ .

- 9 - 18 + 9

$- 9 - 18 + 9$

- 9 - 18 + 9

$- 9 - 18 + 9$

Passaggio 5.2

Sottrai

$18$ da

$- 9$ .

$- 27 + 9$

Passaggio 5.3

Somma

$- 27$ e

$9$ .

$- 18$