Algebra lineare Esempi

$A = [\begin{array}{c} x & 3 & x^{2} \\ - 3 & 5 x & 0 \\ 4 & x^{3} & 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Passaggio 1.9

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Passaggio 2

Calcola $| \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$ .

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x \cdot 1 - x^{3} \cdot 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$x (5 x - x^{3} \cdot 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- x^{3} \cdot 0$ .

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Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$x (5 x + 0 x^{3}) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $x^{3}$ .

$x (5 x + 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Somma $5 x$ e $0$ .

$x (5 x) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$ .

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Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x) - 3 (- 3 \cdot 1 - 4 \cdot 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Passaggio 3.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$x (5 x) - 3 (- 3 - 4 \cdot 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$x (5 x) - 3 (- 3 + 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Passaggio 3.2.2

Somma $- 3$ e $0$ .

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$ .

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Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 4 (5 x))$

Passaggio 4.2

Moltiplica $5$ per $- 4$ .

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x \cdot x - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.1

Sposta $x$ .

$5 (x \cdot x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$5 x^{2} - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Passaggio 5.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$5 x^{2} + 9 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 9 + x^{2} (- 3 x^{3}) + x^{2} (- 20 x)$

Passaggio 5.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 20 x)$

Passaggio 5.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{2} x^{3} - 20 x^{2} x$

Passaggio 5.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.7.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.7.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 (x^{3} x^{2}) - 20 x^{2} x$

Passaggio 5.7.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{3 + 2} - 20 x^{2} x$

Passaggio 5.7.1.3

Somma $3$ e $2$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{2} x$

Passaggio 5.7.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.7.2.1

Sposta $x$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 (x \cdot x^{2})$

Passaggio 5.7.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 5.7.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 (x^{1} x^{2})$

Passaggio 5.7.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{1 + 2}$

Passaggio 5.7.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{3}$