Algebra lineare Esempi

$a + 0 + 2 d - g = 1$ , $0 + 2 b + 6 d + 2 g = - 2$ , $2 a + 0 + 4 d - 2 g = 2$ , $a + b + 5 d + 0 = 0$

Passaggio 1

Somma $a$ e $0$ .

$a + 2 d - g = 1, 0 + 2 b + 6 d + 2 g = - 2, 2 a + 0 + 4 d - 2 g = 2, a + b + 5 d + 0 = 0$

Passaggio 2

Somma $0$ e $2 b$ .

$a + 2 d - g = 1, 2 b + 6 d + 2 g = - 2, 2 a + 0 + 4 d - 2 g = 2, a + b + 5 d + 0 = 0$

Passaggio 3

Somma $2 a$ e $0$ .

$a + 2 d - g = 1, 2 b + 6 d + 2 g = - 2, 2 a + 4 d - 2 g = 2, a + b + 5 d + 0 = 0$

Passaggio 4

Somma $a + b + 5 d$ e $0$ .

$a + 2 d - g = 1, 2 b + 6 d + 2 g = - 2, 2 a + 4 d - 2 g = 2, a + b + 5 d = 0$

Passaggio 5

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 2 & - 2 \\ 2 & 0 & 4 & - 2 & 2 \\ 1 & 1 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 6

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 6.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Passaggio 6.1.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 2 & - 2 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 4 - 2 \cdot 2 & - 2 - 2 \cdot - 1 & 2 - 2 \cdot 1 \\ 1 & 1 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 6.1.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 2 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 6.2

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

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Passaggio 6.2.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 2 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 0 & 5 - 2 & 0 + 1 & 0 - 1 \end{array}]$

Passaggio 6.2.2

Semplifica $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 2 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 6.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 6.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{6}{2} & \frac{2}{2} & \frac{- 2}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 6.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 6.4

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

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Passaggio 6.4.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 3 - 3 & 1 - 1 & - 1 + 1 \end{array}]$

Passaggio 6.4.2

Semplifica $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 7

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$a + 2 d - g = 1$

$b + 3 d + g = - 1$

Passaggio 8

Sposta tutti i termini non contenenti $a$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 8.1

Sottrai $2 d$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a - g = 1 - 2 d$

$b + 3 d + g = - 1$

Passaggio 8.2

Somma $g$ a entrambi i lati dell'equazione.

$a = 1 - 2 d + g$

$b + 3 d + g = - 1$

$a = 1 - 2 d + g$

$b + 3 d + g = - 1$

Passaggio 9

Sposta tutti i termini non contenenti $b$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.1

Sottrai $3 d$ da entrambi i lati dell'equazione.

$b + g = - 1 - 3 d$

$a = 1 - 2 d + g$

Passaggio 9.2

Sottrai $g$ da entrambi i lati dell'equazione.

$b = - 1 - 3 d - g$

$a = 1 - 2 d + g$

$b = - 1 - 3 d - g$

$a = 1 - 2 d + g$

Passaggio 10

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(1 - 2 d + g, - 1 - 3 d - g, d, g)$

Passaggio 11

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \\ g \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 - 2 d + g \\ - 1 - 3 d - g \\ d \\ g \end{array}]$