Algebra lineare Esempi

$5 x - 2 y = 12$ , $x = 3 y + 5$

Passaggio 1

Sottrai $3 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x - 2 y = 12, x - 3 y = 5$

Passaggio 2

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & - 2 & 12 \\ 1 & - 3 & 5 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{- 2}{5} & \frac{12}{5} \\ 1 & - 3 & 5 \end{array}]$

Passaggio 3.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{5} & \frac{12}{5} \\ 1 & - 3 & 5 \end{array}]$

Passaggio 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{5} & \frac{12}{5} \\ 1 - 1 & - 3 + \frac{2}{5} & 5 - \frac{12}{5} \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{5} & \frac{12}{5} \\ 0 & - \frac{13}{5} & \frac{13}{5} \end{array}]$

Passaggio 3.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{13}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 3.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{13}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{5}{13} \cdot 0 & - \frac{5}{13} (- \frac{13}{5}) & - \frac{5}{13} \cdot \frac{13}{5} \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{5} & \frac{12}{5} \\ 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 3.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{12}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.4.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 4

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x = 2$

$y = - 1$

Passaggio 5

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(2, - 1)$

Passaggio 6

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}]$