Algebra lineare Esempi

$\frac{x}{5} = \frac{y}{4}$ , $\frac{y}{3} = \frac{x}{3} - 1$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{y}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{5} - \frac{y}{4} = 0, \frac{y}{3} = \frac{x}{3} - 1$

Passaggio 2

Sottrai $\frac{x}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{5} - \frac{y}{4} = 0, \frac{y}{3} - \frac{x}{3} = - 1$

Passaggio 3

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & - \frac{1}{4} & 0 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - 1 \end{array}]$

Passaggio 4

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $5$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $5$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 (\frac{1}{5}) & 5 (- \frac{1}{4}) & 5 \cdot 0 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - 1 \end{array}]$

Passaggio 4.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{1}{3} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{1}{3} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 \\ - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{5}{4}) & - 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{12} & - 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 12$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 12$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 \\ - 12 \cdot 0 & - 12 (- \frac{1}{12}) & - 12 \cdot - 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 12 \end{array}]$

Passaggio 4.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 4.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{4} \cdot 0 & - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot 1 & 0 + \frac{5}{4} \cdot 12 \\ 0 & 1 & 12 \end{array}]$

Passaggio 4.4.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 15 \\ 0 & 1 & 12 \end{array}]$

Passaggio 5

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x = 15$

$y = 12$

Passaggio 6

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(15, 12)$

Passaggio 7

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 15 \\ 12 \end{array}]$