Algebra lineare Esempi

$2 x + 4 y - 2 z = 0$ , $3 x + 5 y = 1$

Passaggio 1

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & - 2 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{4}{2} & \frac{- 2}{2} & \frac{0}{2} \\ 3 & 5 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 \cdot 2 & 0 - 3 \cdot - 1 & 1 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 3 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 3 & - 1 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot - 3 & 0 - 2 \cdot - 1 \\ 0 & 1 & - 3 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x + 5 z = 2$

$y - 3 z = - 1$

Passaggio 4

Sottrai $5 z$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2 - 5 z$

$y - 3 z = - 1$

Passaggio 5

Somma $3 z$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 1 + 3 z$

$x = 2 - 5 z$

Passaggio 6

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(2 - 5 z, - 1 + 3 z, z)$

Passaggio 7

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 - 5 z \\ - 1 + 3 z \\ z \end{array}]$