Algebra lineare Esempi

${(3)}^{2} a + 3 b + c = 4$ , ${(5)}^{2} a + 5 b + c = 4$ , ${(2)}^{2} a + 2 b + c = 1$

Passaggio 1

Sposta le variabili a sinistra e i termini costanti a destra.

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Passaggio 1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$9 a + 3 b + c = 4$

${(5)}^{2} a + 5 b + c = 4$

${(2)}^{2} a + 2 b + c = 1$

Passaggio 1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$9 a + 3 b + c = 4$

$25 a + 5 b + c = 4$

${(2)}^{2} a + 2 b + c = 1$

Passaggio 1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$9 a + 3 b + c = 4$

$25 a + 5 b + c = 4$

$4 a + 2 b + c = 1$

$9 a + 3 b + c = 4$

$25 a + 5 b + c = 4$

$4 a + 2 b + c = 1$

Passaggio 2

Scrivi il sistema come matrice.

$[\begin{array}{c} 9 & 3 & 1 & 4 \\ 25 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{9}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{9}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{9} & \frac{3}{9} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 25 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 25 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 25 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 3.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 25 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 25 - 25 \cdot 1 & 5 - 25 (\frac{1}{3}) & 1 - 25 (\frac{1}{9}) & 4 - 25 (\frac{4}{9}) \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & - \frac{10}{3} & - \frac{16}{9} & - \frac{64}{9} \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

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Passaggio 3.3.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & - \frac{10}{3} & - \frac{16}{9} & - \frac{64}{9} \\ 4 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 (\frac{1}{3}) & 1 - 4 (\frac{1}{9}) & 1 - 4 (\frac{4}{9}) \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & - \frac{10}{3} & - \frac{16}{9} & - \frac{64}{9} \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{5}{9} & - \frac{7}{9} \end{array}]$

Passaggio 3.4

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{3}{10}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 3.4.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{3}{10}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ - \frac{3}{10} \cdot 0 & - \frac{3}{10} (- \frac{10}{3}) & - \frac{3}{10} (- \frac{16}{9}) & - \frac{3}{10} (- \frac{64}{9}) \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{5}{9} & - \frac{7}{9} \end{array}]$

Passaggio 3.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{5}{9} & - \frac{7}{9} \end{array}]$

Passaggio 3.5

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - \frac{2}{3} R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

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Passaggio 3.5.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - \frac{2}{3} R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{5}{9} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{15} & - \frac{7}{9} - \frac{2}{3} \cdot \frac{32}{15} \end{array}]$

Passaggio 3.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} & - \frac{11}{5} \end{array}]$

Passaggio 3.6

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $5$ per rendere il dato in $3, 3$ un $1$ .

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Passaggio 3.6.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $5$ per rendere il dato in $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 5 \cdot 0 & 5 \cdot 0 & 5 (\frac{1}{5}) & 5 (- \frac{11}{5}) \end{array}]$

Passaggio 3.6.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Passaggio 3.7

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - \frac{8}{15} R_{3}$ per rendere il dato in $2, 3$ un $0$ .

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Passaggio 3.7.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - \frac{8}{15} R_{3}$ per rendere il dato in $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 - \frac{8}{15} \cdot 0 & 1 - \frac{8}{15} \cdot 0 & \frac{8}{15} - \frac{8}{15} \cdot 1 & \frac{32}{15} - \frac{8}{15} \cdot - 11 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Passaggio 3.7.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Passaggio 3.8

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{9} R_{3}$ per rendere il dato in $1, 3$ un $0$ .

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Passaggio 3.8.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{9} R_{3}$ per rendere il dato in $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{9} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{9} \cdot 0 & \frac{1}{9} - \frac{1}{9} \cdot 1 & \frac{4}{9} - \frac{1}{9} \cdot - 11 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Passaggio 3.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{5}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Passaggio 3.9

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 3.9.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Passaggio 3.9.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Passaggio 4

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$a = - 1$

$b = 8$

$c = - 11$

Passaggio 5

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(- 1, 8, - 11)$