Algebra lineare Esempi

$15 x - 10 y = 5$ , $15 y = - 5 + 10 x$

Passaggio 1

Sottrai $10 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$15 x - 10 y = 5, 15 y - 10 x = - 5$

Passaggio 2

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 15 & - 10 & 5 \\ - 10 & 15 & - 5 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{15}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{15}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{15}{15} & \frac{- 10}{15} & \frac{5}{15} \\ - 10 & 15 & - 5 \end{array}]$

Passaggio 3.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ - 10 & 15 & - 5 \end{array}]$

Passaggio 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 10 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 10 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ - 10 + 10 \cdot 1 & 15 + 10 (- \frac{2}{3}) & - 5 + 10 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{25}{3} & - \frac{5}{3} \end{array}]$

Passaggio 3.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{25}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 3.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{25}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{3}{25} \cdot 0 & \frac{3}{25} \cdot \frac{25}{3} & \frac{3}{25} (- \frac{5}{3}) \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} \end{array}]$

Passaggio 3.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 3.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{5}) \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} \end{array}]$

Passaggio 3.4.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} \end{array}]$

Passaggio 4

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x = \frac{1}{5}$

$y = - \frac{1}{5}$

Passaggio 5

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(\frac{1}{5}, - \frac{1}{5})$

Passaggio 6

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \end{array}]$