Algebra lineare Esempi

$a x + c y = 0$ , $b x + d y = 0$

Passaggio 1

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} x & 0 & y & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 & y & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{x}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{x}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{x}{x} & \frac{0}{x} & \frac{y}{x} & \frac{0}{x} & \frac{0}{x} & \frac{0}{x} & \frac{0}{x} \\ 0 & x & 0 & y & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{y}{x} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 & y & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{x}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{x}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{y}{x} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{x} & \frac{x}{x} & \frac{0}{x} & \frac{y}{x} & \frac{0}{x} & \frac{0}{x} & \frac{0}{x} \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{y}{x} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{y}{x} & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$a + \frac{y c}{x} = 0$

$b + \frac{y d}{x} = 0$

Passaggio 4

Sottrai $\frac{y c}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a = - \frac{y c}{x}$

$b + \frac{y d}{x} = 0$

Passaggio 5

Sottrai $\frac{y d}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$b = - \frac{y d}{x}$

$a = - \frac{y c}{x}$

Passaggio 6

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(- \frac{y c}{x}, - \frac{y d}{x}, c, d, x, y)$

Passaggio 7

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y c}{x} \\ - \frac{y d}{x} \\ c \\ d \\ x \\ y \end{array}]$