Algebra lineare Esempi

$5 a + 3 b = 35$ , $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$

Passaggio 1

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & 3 & 35 \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{3}{5} & \frac{35}{5} \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

Passaggio 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{b} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{b} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ \frac{1}{b} - \frac{1}{b} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{b} \cdot \frac{3}{5} & \frac{2}{5} - \frac{1}{b} \cdot 7 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ 0 & - \frac{3}{5 b} & \frac{2}{5} - \frac{7}{b} \end{array}]$

Passaggio 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5 b}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5 b}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ - \frac{5 b}{3} \cdot 0 & - \frac{5 b}{3} (- \frac{3}{5 b}) & - \frac{5 b}{3} (\frac{2}{5} - \frac{7}{b}) \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

Passaggio 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot 1 & 7 - \frac{3}{5} (- \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3}) \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2 b}{5} \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

Passaggio 3

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3}$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione per $b$ .

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Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti $b$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 4.1.1

Somma $\frac{2 b}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$b + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Passaggio 4.1.2

Per scrivere $b$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$b \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Passaggio 4.1.3

$b$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{b \cdot 3}{3} + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Passaggio 4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{b \cdot 3 + 2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Passaggio 4.1.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.5.1

Sposta $3$ alla sinistra di $b$ .

$\frac{3 \cdot b + 2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Passaggio 4.1.5.2

Somma $3 b$ e $2 b$ .

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Passaggio 4.2

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$5 b = 35$

$a = \frac{2 b}{5}$

Passaggio 4.3

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 b = 35$ e semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 b = 35$ .

$\frac{5 b}{5} = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 b}{5} = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Dividi $b$ per $1$ .

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.3.1

Dividi $35$ per $5$ .

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

Passaggio 5

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(\frac{2 b}{5}, 7)$

Passaggio 6

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{2 b}{5} \\ 7 \end{array}]$