Algebra lineare Esempi

$4 x + 5 y + 3 z = 15$ , $x - 3 y + 2 y = - 6$ , $- x + 2 y - z = 3$

Passaggio 1

Somma $- 3 y$ e $2 y$ .

$4 x + 5 y + 3 z = 15, x - y = - 6, - x + 2 y - z = 3$

Passaggio 2

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & 5 & 3 & 15 \\ 1 & - 1 & 0 & - 6 \\ - 1 & 2 & - 1 & 3 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{5}{4} & \frac{3}{4} & \frac{15}{4} \\ 1 & - 1 & 0 & - 6 \\ - 1 & 2 & - 1 & 3 \end{array}]$

Passaggio 3.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{4} & \frac{3}{4} & \frac{15}{4} \\ 1 & - 1 & 0 & - 6 \\ - 1 & 2 & - 1 & 3 \end{array}]$

Passaggio 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{4} & \frac{3}{4} & \frac{15}{4} \\ 1 - 1 & - 1 - \frac{5}{4} & 0 - \frac{3}{4} & - 6 - \frac{15}{4} \\ - 1 & 2 & - 1 & 3 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{4} & \frac{3}{4} & \frac{15}{4} \\ 0 & - \frac{9}{4} & - \frac{3}{4} & - \frac{39}{4} \\ - 1 & 2 & - 1 & 3 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Passaggio 3.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{4} & \frac{3}{4} & \frac{15}{4} \\ 0 & - \frac{9}{4} & - \frac{3}{4} & - \frac{39}{4} \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + \frac{5}{4} & - 1 + \frac{3}{4} & 3 + \frac{15}{4} \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{4} & \frac{3}{4} & \frac{15}{4} \\ 0 & - \frac{9}{4} & - \frac{3}{4} & - \frac{39}{4} \\ 0 & \frac{13}{4} & - \frac{1}{4} & \frac{27}{4} \end{array}]$

Passaggio 3.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{4}{9}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 3.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{4}{9}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{4} & \frac{3}{4} & \frac{15}{4} \\ - \frac{4}{9} \cdot 0 & - \frac{4}{9} (- \frac{9}{4}) & - \frac{4}{9} (- \frac{3}{4}) & - \frac{4}{9} (- \frac{39}{4}) \\ 0 & \frac{13}{4} & - \frac{1}{4} & \frac{27}{4} \end{array}]$

Passaggio 3.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{4} & \frac{3}{4} & \frac{15}{4} \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{13}{3} \\ 0 & \frac{13}{4} & - \frac{1}{4} & \frac{27}{4} \end{array}]$

Passaggio 3.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{13}{4} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Passaggio 3.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{13}{4} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{4} & \frac{3}{4} & \frac{15}{4} \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{13}{3} \\ 0 - \frac{13}{4} \cdot 0 & \frac{13}{4} - \frac{13}{4} \cdot 1 & - \frac{1}{4} - \frac{13}{4} \cdot \frac{1}{3} & \frac{27}{4} - \frac{13}{4} \cdot \frac{13}{3} \end{array}]$

Passaggio 3.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{4} & \frac{3}{4} & \frac{15}{4} \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{13}{3} \\ 0 & 0 & - \frac{4}{3} & - \frac{22}{3} \end{array}]$

Passaggio 3.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{3}{4}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Passaggio 3.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{3}{4}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{4} & \frac{3}{4} & \frac{15}{4} \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{13}{3} \\ - \frac{3}{4} \cdot 0 & - \frac{3}{4} \cdot 0 & - \frac{3}{4} (- \frac{4}{3}) & - \frac{3}{4} (- \frac{22}{3}) \end{array}]$

Passaggio 3.6.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{4} & \frac{3}{4} & \frac{15}{4} \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{13}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{11}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{3} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Passaggio 3.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{3} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{4} & \frac{3}{4} & \frac{15}{4} \\ 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & \frac{13}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{11}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{11}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.7.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{4} & \frac{3}{4} & \frac{15}{4} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{11}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{4} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Passaggio 3.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{4} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{4} \cdot 0 & \frac{5}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0 & \frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 & \frac{15}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{11}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{11}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{4} & 0 & - \frac{3}{8} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{11}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 3.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{4} \cdot 0 & \frac{5}{4} - \frac{5}{4} \cdot 1 & 0 - \frac{5}{4} \cdot 0 & - \frac{3}{8} - \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{11}{2} \end{array}]$

Passaggio 3.9.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{7}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{11}{2} \end{array}]$

Passaggio 4

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x = - \frac{7}{2}$

$y = \frac{5}{2}$

$z = \frac{11}{2}$

Passaggio 5

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(- \frac{7}{2}, \frac{5}{2}, \frac{11}{2})$

Passaggio 6

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{7}{2} \\ \frac{5}{2} \\ \frac{11}{2} \end{array}]$