Algebra lineare Esempi

$4 a + 4 b + 8 d = 0$ , $- 12 a - 12 b - 24 d = 0$ , $- 6 b + 18 d = 0$

Passaggio 1

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & 4 & 8 & 0 \\ - 12 & - 12 & - 24 & 0 \\ 0 & - 6 & 18 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{4}{4} & \frac{8}{4} & \frac{0}{4} \\ - 12 & - 12 & - 24 & 0 \\ 0 & - 6 & 18 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 2 & 0 \\ - 12 & - 12 & - 24 & 0 \\ 0 & - 6 & 18 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 2 & 0 \\ - 12 + 12 \cdot 1 & - 12 + 12 \cdot 1 & - 24 + 12 \cdot 2 & 0 + 12 \cdot 0 \\ 0 & - 6 & 18 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 18 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & - 6 & 18 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 2 & 0 \\ - \frac{1}{6} \cdot 0 & - \frac{1}{6} \cdot - 6 & - \frac{1}{6} \cdot 18 & - \frac{1}{6} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 2 + 3 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.5.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$a + 5 d = 0$

$b - 3 d = 0$

Passaggio 4

Sottrai $5 d$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a = - 5 d$

$b - 3 d = 0$

Passaggio 5

Somma $3 d$ a entrambi i lati dell'equazione.

$b = 3 d$

$a = - 5 d$

Passaggio 6

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(- 5 d, 3 d, d)$

Passaggio 7

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}] = [\begin{array}{c} - 5 d \\ 3 d \\ d \end{array}]$