Algebra lineare Esempi

$(x + y + z) = 2$ , $(2 x + y - z) = - 1$ , $(5 - 2 z) = x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$x + y + z = 2, 2 x + y - z = - 1, 5 - 2 z = x$

Passaggio 2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x + y + z = 2, 2 x + y - z = - 1, - 2 z = x - 5$

Passaggio 3

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x + y + z = 2, 2 x + y - z = - 1, - 2 z - x = - 5$

Passaggio 4

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 2 & - 5 \end{array}]$

Passaggio 5

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 5.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 2 \\ - 1 & 0 & - 2 & - 5 \end{array}]$

Passaggio 5.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & - 1 & - 3 & - 5 \\ - 1 & 0 & - 2 & - 5 \end{array}]$

Passaggio 5.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Passaggio 5.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & - 1 & - 3 & - 5 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 1 & - 2 + 1 \cdot 1 & - 5 + 1 \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & - 1 & - 3 & - 5 \\ 0 & 1 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Passaggio 5.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 5.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ - 0 & - - 1 & - - 3 & - - 5 \\ 0 & 1 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Passaggio 5.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Passaggio 5.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 1 - 3 & - 3 - 5 \end{array}]$

Passaggio 5.4.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & - 4 & - 8 \end{array}]$

Passaggio 5.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Passaggio 5.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot - 8 \end{array}]$

Passaggio 5.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 5.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Passaggio 5.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 \cdot 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 5.6.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 5.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Passaggio 5.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 2 - 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 5.7.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 5.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 5.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 5.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 6

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x = 1$

$y = - 1$

$z = 2$

Passaggio 7

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(1, - 1, 2)$

Passaggio 8

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}]$