Algebra lineare Esempi

$(x + y + 6 z) = 4$ , $(x + y + 3 z) = 4$ , $(x + 2 y + 4 z) = 9$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$x + y + 6 z = 4, x + y + 3 z = 4, x + 2 y + 4 z = 9$

Passaggio 2

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 & 4 \\ 1 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 9 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 & 4 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 3 - 6 & 4 - 4 \\ 1 & 2 & 4 & 9 \end{array}]$

Passaggio 3.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 & 4 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 9 \end{array}]$

Passaggio 3.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 & 4 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 1 - 1 & 2 - 1 & 4 - 6 & 9 - 4 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 & 4 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 5 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 & 4 \\ 0 & 1 & - 2 & 5 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.4

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 & 4 \\ 0 & 1 & - 2 & 5 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.4.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 & 4 \\ 0 & 1 & - 2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.5

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 & 4 \\ 0 + 2 \cdot 0 & 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 5 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.5.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 6 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 6 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 & 4 - 6 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.6.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 4 - 5 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.7.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x = - 1$

$y = 5$

$z = 0$

Passaggio 5

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(- 1, 5, 0)$

Passaggio 6

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 5 \\ 0 \end{array}]$