Algebra lineare Esempi

$p - 3 q = 4 s$ , $2 p = s + 5 r$

Passaggio 1

Sottrai $4 s$ da entrambi i lati dell'equazione.

$p - 3 q - 4 s = 0, 2 p = s + 5 r$

Passaggio 2

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Sottrai $s$ da entrambi i lati dell'equazione.

$p - 3 q - 4 s = 0, 2 p - s = 5 r$

Passaggio 2.2

Sottrai $5 r$ da entrambi i lati dell'equazione.

$p - 3 q - 4 s = 0, 2 p - s - 5 r = 0$

Passaggio 3

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 4 & 0 \\ 2 & 0 & - 5 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 4.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 4 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot - 3 & - 5 - 2 \cdot 0 & - 1 - 2 \cdot - 4 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 6 & - 5 & 7 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 4.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 4 & 0 \\ \frac{0}{6} & \frac{6}{6} & \frac{- 5}{6} & \frac{7}{6} & \frac{0}{6} \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{5}{6} & \frac{7}{6} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 4.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 (- \frac{5}{6}) & - 4 + 3 (\frac{7}{6}) & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{5}{6} & \frac{7}{6} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{5}{6} & \frac{7}{6} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$p - \frac{5 r}{2} - \frac{s}{2} = 0$

$q - \frac{5 r}{6} + \frac{7 s}{6} = 0$

Passaggio 6

Sposta tutti i termini non contenenti $p$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 6.1

Somma $\frac{5 r}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$p - \frac{s}{2} = \frac{5 r}{2}$

$q - \frac{5 r}{6} + \frac{7 s}{6} = 0$

Passaggio 6.2

Somma $\frac{s}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$p = \frac{5 r}{2} + \frac{s}{2}$

$q - \frac{5 r}{6} + \frac{7 s}{6} = 0$

$p = \frac{5 r}{2} + \frac{s}{2}$

$q - \frac{5 r}{6} + \frac{7 s}{6} = 0$

Passaggio 7

Sposta tutti i termini non contenenti $q$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 7.1

Somma $\frac{5 r}{6}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$q + \frac{7 s}{6} = \frac{5 r}{6}$

$p = \frac{5 r}{2} + \frac{s}{2}$

Passaggio 7.2

Sottrai $\frac{7 s}{6}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$q = \frac{5 r}{6} - \frac{7 s}{6}$

$p = \frac{5 r}{2} + \frac{s}{2}$

$q = \frac{5 r}{6} - \frac{7 s}{6}$

$p = \frac{5 r}{2} + \frac{s}{2}$

Passaggio 8

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(\frac{5 r}{2} + \frac{s}{2}, \frac{5 r}{6} - \frac{7 s}{6}, r, s)$

Passaggio 9

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} p \\ q \\ r \\ s \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{5 r}{2} + \frac{s}{2} \\ \frac{5 r}{6} - \frac{7 s}{6} \\ r \\ s \end{array}]$