Algebra lineare Esempi

$x - 9 y = z - 17$ , $x = 7 + y - z$ , $x + y - z = 3$

Passaggio 1

Sottrai $z$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x - 9 y - z = - 17, x = 7 + y - z, x + y - z = 3$

Passaggio 2

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x - 9 y - z = - 17, x - y = 7 - z, x + y - z = 3$

Passaggio 2.2

Somma $z$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x - 9 y - z = - 17, x - y + z = 7, x + y - z = 3$

Passaggio 3

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 1 & - 1 & 1 & 7 \\ 1 & 1 & - 1 & 3 \end{array}]$

Passaggio 4

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 4.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 1 - 1 & - 1 + 9 & 1 + 1 & 7 + 17 \\ 1 & 1 & - 1 & 3 \end{array}]$

Passaggio 4.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 0 & 8 & 2 & 24 \\ 1 & 1 & - 1 & 3 \end{array}]$

Passaggio 4.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Passaggio 4.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 0 & 8 & 2 & 24 \\ 1 - 1 & 1 + 9 & - 1 + 1 & 3 + 17 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 0 & 8 & 2 & 24 \\ 0 & 10 & 0 & 20 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ \frac{0}{8} & \frac{8}{8} & \frac{2}{8} & \frac{24}{8} \\ 0 & 10 & 0 & 20 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 3 \\ 0 & 10 & 0 & 20 \end{array}]$

Passaggio 4.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 10 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Passaggio 4.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 10 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 3 \\ 0 - 10 \cdot 0 & 10 - 10 \cdot 1 & 0 - 10 (\frac{1}{4}) & 20 - 10 \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 4.4.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 3 \\ 0 & 0 & - \frac{5}{2} & - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{2}{5}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Passaggio 4.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{2}{5}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 3 \\ - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} (- \frac{5}{2}) & - \frac{2}{5} \cdot - 10 \end{array}]$

Passaggio 4.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Passaggio 4.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{4} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Passaggio 4.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{4} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{4} \cdot 0 & \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & 3 - \frac{1}{4} \cdot 4 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Passaggio 4.6.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & - 1 & - 17 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Passaggio 4.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Passaggio 4.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 9 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 17 + 1 \cdot 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Passaggio 4.7.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 9 & 0 & - 13 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Passaggio 4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 9 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 9 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 9 \cdot 0 & - 9 + 9 \cdot 1 & 0 + 9 \cdot 0 & - 13 + 9 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Passaggio 4.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Passaggio 5

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x = 5$

$y = 2$

$z = 4$

Passaggio 6

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(5, 2, 4)$

Passaggio 7

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 4 \end{array}]$