Algebra lineare Esempi

$x - 4 y + z = 2$ , $y = 5 x - z + 2$ , $4 x + 2 z = 2$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sottrai $5 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x - 4 y + z = 2, y - 5 x = - z + 2, 4 x + 2 z = 2$

Passaggio 1.2

Somma $z$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x - 4 y + z = 2, y - 5 x + z = 2, 4 x + 2 z = 2$

Passaggio 2

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 1 & 2 \\ - 5 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 0 & 2 & 2 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 3.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 3.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 1 & 2 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & 1 + 5 \cdot - 4 & 1 + 5 \cdot 1 & 2 + 5 \cdot 2 \\ 4 & 0 & 2 & 2 \end{array}]$

Passaggio 3.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 1 & 2 \\ 0 & - 19 & 6 & 12 \\ 4 & 0 & 2 & 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Passaggio 3.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 1 & 2 \\ 0 & - 19 & 6 & 12 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot - 4 & 2 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 1 & 2 \\ 0 & - 19 & 6 & 12 \\ 0 & 16 & - 2 & - 6 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{19}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 3.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{19}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 1 & 2 \\ - \frac{1}{19} \cdot 0 & - \frac{1}{19} \cdot - 19 & - \frac{1}{19} \cdot 6 & - \frac{1}{19} \cdot 12 \\ 0 & 16 & - 2 & - 6 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{6}{19} & - \frac{12}{19} \\ 0 & 16 & - 2 & - 6 \end{array}]$

Passaggio 3.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 16 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Passaggio 3.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 16 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{6}{19} & - \frac{12}{19} \\ 0 - 16 \cdot 0 & 16 - 16 \cdot 1 & - 2 - 16 (- \frac{6}{19}) & - 6 - 16 (- \frac{12}{19}) \end{array}]$

Passaggio 3.4.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{6}{19} & - \frac{12}{19} \\ 0 & 0 & \frac{58}{19} & \frac{78}{19} \end{array}]$

Passaggio 3.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{19}{58}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Passaggio 3.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{19}{58}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{6}{19} & - \frac{12}{19} \\ \frac{19}{58} \cdot 0 & \frac{19}{58} \cdot 0 & \frac{19}{58} \cdot \frac{58}{19} & \frac{19}{58} \cdot \frac{78}{19} \end{array}]$

Passaggio 3.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{6}{19} & - \frac{12}{19} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{39}{29} \end{array}]$

Passaggio 3.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{6}{19} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Passaggio 3.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{6}{19} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 1 & 2 \\ 0 + \frac{6}{19} \cdot 0 & 1 + \frac{6}{19} \cdot 0 & - \frac{6}{19} + \frac{6}{19} \cdot 1 & - \frac{12}{19} + \frac{6}{19} \cdot \frac{39}{29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{39}{29} \end{array}]$

Passaggio 3.6.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{6}{29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{39}{29} \end{array}]$

Passaggio 3.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Passaggio 3.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & - 4 - 0 & 1 - 1 & 2 - \frac{39}{29} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{6}{29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{39}{29} \end{array}]$

Passaggio 3.7.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 0 & \frac{19}{29} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{6}{29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{39}{29} \end{array}]$

Passaggio 3.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 3.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 0 + 4 \cdot 0 & \frac{19}{29} + 4 (- \frac{6}{29}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{6}{29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{39}{29} \end{array}]$

Passaggio 3.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{5}{29} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{6}{29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{39}{29} \end{array}]$

Passaggio 4

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x = - \frac{5}{29}$

$y = - \frac{6}{29}$

$z = \frac{39}{29}$

Passaggio 5

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(- \frac{5}{29}, - \frac{6}{29}, \frac{39}{29})$

Passaggio 6

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{5}{29} \\ - \frac{6}{29} \\ \frac{39}{29} \end{array}]$