Algebra lineare Esempi

$x + 2 y + 3 z = 9$ , $y + 3 z = 5$ , $z = 2$

Passaggio 1

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Passaggio 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 \cdot 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Passaggio 2.2.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 2 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 9 - 3 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 3 - 2 \cdot - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 3

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x = 5$

$y = - 1$

$z = 2$

Passaggio 4

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(5, - 1, 2)$

Passaggio 5

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 1 \\ 2 \end{array}]$