Algebra lineare Esempi

$x = 2 t$ , $y = 4 - t$

Passaggio 1

Sottrai $2 t$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x - 2 t = 0, y = 4 - t$

Passaggio 2

Somma $t$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x - 2 t = 0, y + t = 4$

Passaggio 3

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Passaggio 4

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 1 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Passaggio 4.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Passaggio 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 + \frac{1}{2} & 1 - 0 & 4 - 0 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 & 4 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $2$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $2$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 4 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \end{array}]$

Passaggio 4.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 4.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{2} \cdot 2 & 0 + \frac{1}{2} \cdot 8 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \end{array}]$

Passaggio 4.4.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \end{array}]$

Passaggio 5

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$t + y = 4$

$x + 2 y = 8$

Passaggio 6

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t = 4 - y$

$x + 2 y = 8$

Passaggio 7

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8 - 2 y$

$t = 4 - y$

Passaggio 8

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(4 - y, 8 - 2 y, y)$

Passaggio 9

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 - y \\ 8 - 2 y \\ y \end{array}]$