Algebra lineare Esempi

$5 x - 4 y = 7$ , $x = 5 - \frac{2}{3} y$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

$y$ e $\frac{2}{3}$ .

$5 x - 4 y = 7, x = 5 - \frac{y \cdot 2}{3}$

Passaggio 1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$5 x - 4 y = 7, x = 5 - \frac{2 y}{3}$

Passaggio 2

Somma $\frac{2 y}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x - 4 y = 7, x + \frac{2 y}{3} = 5$

Passaggio 3

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 & 7 \\ 1 & \frac{2}{3} & 5 \end{array}]$

Passaggio 4

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{- 4}{5} & \frac{7}{5} \\ 1 & \frac{2}{3} & 5 \end{array}]$

Passaggio 4.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & \frac{7}{5} \\ 1 & \frac{2}{3} & 5 \end{array}]$

Passaggio 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & \frac{7}{5} \\ 1 - 1 & \frac{2}{3} + \frac{4}{5} & 5 - \frac{7}{5} \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & \frac{7}{5} \\ 0 & \frac{22}{15} & \frac{18}{5} \end{array}]$

Passaggio 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{15}{22}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{15}{22}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & \frac{7}{5} \\ \frac{15}{22} \cdot 0 & \frac{15}{22} \cdot \frac{22}{15} & \frac{15}{22} \cdot \frac{18}{5} \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & \frac{7}{5} \\ 0 & 1 & \frac{27}{11} \end{array}]$

Passaggio 4.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 4.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{4}{5} \cdot 0 & - \frac{4}{5} + \frac{4}{5} \cdot 1 & \frac{7}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{27}{11} \\ 0 & 1 & \frac{27}{11} \end{array}]$

Passaggio 4.4.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{37}{11} \\ 0 & 1 & \frac{27}{11} \end{array}]$

Passaggio 5

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x = \frac{37}{11}$

$y = \frac{27}{11}$

Passaggio 6

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(\frac{37}{11}, \frac{27}{11})$

Passaggio 7

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{37}{11} \\ \frac{27}{11} \end{array}]$