Algebra lineare Esempi

$x + y + x = 3100$ , $0.07 x + 0.08 y + 0.09 z = 249$ , $- y + z = 400$

Passaggio 1

Somma $x$ e $x$ .

$2 x + y = 3100, 0.07 x + 0.08 y + 0.09 z = 249, - y + z = 400$

Passaggio 2

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 0 & 3100 \\ 0.07 & 0.08 & 0.09 & 249 \\ 0 & - 1 & 1 & 400 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} & \frac{3100}{2} \\ 0.07 & 0.08 & 0.09 & 249 \\ 0 & - 1 & 1 & 400 \end{array}]$

Passaggio 3.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 1550 \\ 0.07 & 0.08 & 0.09 & 249 \\ 0 & - 1 & 1 & 400 \end{array}]$

Passaggio 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 0.07 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 0.07 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 1550 \\ 0.07 - 0.07 \cdot 1 & 0.08 - 0.07 (\frac{1}{2}) & 0.09 - 0.07 \cdot 0 & 249 - 0.07 \cdot 1550 \\ 0 & - 1 & 1 & 400 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 1550 \\ 0 & 0.045 & 0.09 & 140.5 \\ 0 & - 1 & 1 & 400 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{0.045}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 3.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{0.045}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 1550 \\ \frac{0}{0.045} & \frac{0.045}{0.045} & \frac{0.09}{0.045} & \frac{140.5}{0.045} \\ 0 & - 1 & 1 & 400 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 1550 \\ 0 & 1 & 2 & 3122.\overline{2} \\ 0 & - 1 & 1 & 400 \end{array}]$

Passaggio 3.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Passaggio 3.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 1550 \\ 0 & 1 & 2 & 3122.\overline{2} \\ 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 1 + 1 \cdot 2 & 400 + 1 \cdot 3122.\overline{2} \end{array}]$

Passaggio 3.4.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 1550 \\ 0 & 1 & 2 & 3122.\overline{2} \\ 0 & 0 & 3 & 3522.\overline{2} \end{array}]$

Passaggio 3.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Passaggio 3.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 1550 \\ 0 & 1 & 2 & 3122.\overline{2} \\ \frac{0}{3} & \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{3522.\overline{2}}{3} \end{array}]$

Passaggio 3.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 1550 \\ 0 & 1 & 2 & 3122.\overline{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1174.\overline{074} \end{array}]$

Passaggio 3.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Passaggio 3.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 1550 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 3122.\overline{2} - 2 \cdot 1174.\overline{074} \\ 0 & 0 & 1 & 1174.\overline{074} \end{array}]$

Passaggio 3.6.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 1550 \\ 0 & 1 & 0 & 774.\overline{074} \\ 0 & 0 & 1 & 1174.\overline{074} \end{array}]$

Passaggio 3.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 3.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 1550 - \frac{1}{2} \cdot 774.\overline{074} \\ 0 & 1 & 0 & 774.\overline{074} \\ 0 & 0 & 1 & 1174.\overline{074} \end{array}]$

Passaggio 3.7.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1162.\overline{962} \\ 0 & 1 & 0 & 774.\overline{074} \\ 0 & 0 & 1 & 1174.\overline{074} \end{array}]$

Passaggio 4

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x = 1162.\overline{962}$

$y = 774.\overline{074}$

$z = 1174.\overline{074}$

Passaggio 5

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(1162.\overline{962}, 774.\overline{074}, 1174.\overline{074})$

Passaggio 6

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1162.\overline{962} \\ 774.\overline{074} \\ 1174.\overline{074} \end{array}]$