Algebra lineare Esempi

$x - z = 0$ , $x + y + z = 114$ , $76 x + 51 y + 64 z = 6916$

Passaggio 1

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 114 \\ 76 & 51 & 64 & 6916 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 0 & 1 + 1 & 114 - 0 \\ 76 & 51 & 64 & 6916 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 114 \\ 76 & 51 & 64 & 6916 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 76 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Passaggio 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 76 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 114 \\ 76 - 76 \cdot 1 & 51 - 76 \cdot 0 & 64 - 76 \cdot - 1 & 6916 - 76 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 114 \\ 0 & 51 & 140 & 6916 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 51 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Passaggio 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 51 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 114 \\ 0 - 51 \cdot 0 & 51 - 51 \cdot 1 & 140 - 51 \cdot 2 & 6916 - 51 \cdot 114 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 114 \\ 0 & 0 & 38 & 1102 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{38}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Passaggio 2.4.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{38}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 114 \\ \frac{0}{38} & \frac{0}{38} & \frac{38}{38} & \frac{1102}{38} \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 114 \\ 0 & 0 & 1 & 29 \end{array}]$

Passaggio 2.5

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Passaggio 2.5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 114 - 2 \cdot 29 \\ 0 & 0 & 1 & 29 \end{array}]$

Passaggio 2.5.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 56 \\ 0 & 0 & 1 & 29 \end{array}]$

Passaggio 2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Passaggio 2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 29 \\ 0 & 1 & 0 & 56 \\ 0 & 0 & 1 & 29 \end{array}]$

Passaggio 2.6.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 29 \\ 0 & 1 & 0 & 56 \\ 0 & 0 & 1 & 29 \end{array}]$

Passaggio 3

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x = 29$

$y = 56$

$z = 29$

Passaggio 4

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(29, 56, 29)$

Passaggio 5

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 29 \\ 56 \\ 29 \end{array}]$