Algebra lineare Esempi

$y = - 3 x - 3 z + 11$ , $x = - 2 y - z + 7$ , $z = x - y$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Somma $3 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y + 3 x = - 3 z + 11, x = - 2 y - z + 7, z = x - y$

Passaggio 1.2

Somma $3 z$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y + 3 x + 3 z = 11, x = - 2 y - z + 7, z = x - y$

Passaggio 2

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Somma $2 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y + 3 x + 3 z = 11, x + 2 y = - z + 7, z = x - y$

Passaggio 2.2

Somma $z$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y + 3 x + 3 z = 11, x + 2 y + z = 7, z = x - y$

Passaggio 3

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y + 3 x + 3 z = 11, x + 2 y + z = 7, z - x = - y$

Passaggio 3.2

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y + 3 x + 3 z = 11, x + 2 y + z = 7, z - x + y = 0$

Passaggio 4

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 3 & 11 \\ 1 & 2 & 1 & 7 \\ - 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{1}{3} & \frac{3}{3} & \frac{11}{3} \\ 1 & 2 & 1 & 7 \\ - 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 1 & 2 & 1 & 7 \\ - 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 5.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 1 - 1 & 2 - \frac{1}{3} & 1 - 1 & 7 - \frac{11}{3} \\ - 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & \frac{5}{3} & 0 & \frac{10}{3} \\ - 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Passaggio 5.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & \frac{5}{3} & 0 & \frac{10}{3} \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 1 + \frac{1}{3} & 1 + 1 \cdot 1 & 0 + \frac{11}{3} \end{array}]$

Passaggio 5.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & \frac{5}{3} & 0 & \frac{10}{3} \\ 0 & \frac{4}{3} & 2 & \frac{11}{3} \end{array}]$

Passaggio 5.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 5.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} & \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} \\ 0 & \frac{4}{3} & 2 & \frac{11}{3} \end{array}]$

Passaggio 5.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & \frac{4}{3} & 2 & \frac{11}{3} \end{array}]$

Passaggio 5.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Passaggio 5.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 - \frac{4}{3} \cdot 0 & \frac{4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1 & 2 - \frac{4}{3} \cdot 0 & \frac{11}{3} - \frac{4}{3} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 5.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 5.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Passaggio 5.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.6.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Passaggio 5.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & \frac{1}{3} - 0 & 1 - 1 & \frac{11}{3} - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.7.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{19}{6} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 5.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{19}{6} - \frac{1}{3} \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 6

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x = \frac{5}{2}$

$y = 2$

$z = \frac{1}{2}$

Passaggio 7

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(\frac{5}{2}, 2, \frac{1}{2})$

Passaggio 8

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ 2 \\ \frac{1}{2} \end{array}]$