Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Passaggio 1

Moltiplica $[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

$[\begin{array}{c} 0 x - y + 1 z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

$[\begin{array}{c} - y + z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Passaggio 2

È possibile scrivere l'equazione della matrice come un insieme di equazioni.

$- y + z = 8$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

Passaggio 3

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$z = 8 + y$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $z$ con $8 + y$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $z$ in $2 x + 2 y - 5 z = 15$ con $8 + y$ .

$2 x + 2 y - 5 (8 + y) = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica $2 x + 2 y - 5 (8 + y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x + 2 y - 5 \cdot 8 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Passaggio 4.2.1.1.2

Moltiplica $- 5$ per $8$ .

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Passaggio 4.2.1.2

Sottrai $5 y$ da $2 y$ .

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $z$ in $- x - y + 3 z = 23$ con $8 + y$ .

$- x - y + 3 (8 + y) = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Passaggio 4.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Semplifica $- x - y + 3 (8 + y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- x - y + 3 \cdot 8 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Passaggio 4.4.1.1.2

Moltiplica $3$ per $8$ .

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Passaggio 4.4.1.2

Somma $- y$ e $3 y$ .

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Passaggio 5

Riordina $8$ e $y$ .

$z = y + 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Passaggio 6

Risolvi per $y$ in $z = y + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $y + 8 = z$ .

$y + 8 = z$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Passaggio 6.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $z - 8$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $- x + 2 y + 24 = 23$ con $z - 8$ .

$- x + 2 (z - 8) + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica $- x + 2 (z - 8) + 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- x + 2 z + 2 \cdot - 8 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Passaggio 7.2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Passaggio 7.2.1.2

Somma $- 16$ e $24$ .

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Passaggio 7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $2 x - 3 y - 40 = 15$ con $z - 8$ .

$2 x - 3 (z - 8) - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Passaggio 7.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Semplifica $2 x - 3 (z - 8) - 40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x - 3 z - 3 \cdot - 8 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Passaggio 7.4.1.1.2

Moltiplica $- 3$ per $- 8$ .

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Passaggio 7.4.1.2

Sottrai $40$ da $24$ .

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ in $2 x - 3 z - 16 = 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Somma $3 z$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x - 16 = 15 + 3 z$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Passaggio 8.1.2

Somma $16$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 15 + 3 z + 16$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Passaggio 8.1.3

Somma $15$ e $16$ .

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Passaggio 8.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3 z + 31$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3 z + 31$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ in $- x + 2 z + 8 = 23$ con $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ .

$- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica $- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 z}{2} - \frac{31}{2} + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Passaggio 9.2.1.2

Per scrivere $2 z$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 z}{2} + 2 z \cdot \frac{2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Passaggio 9.2.1.3

$2 z$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 z}{2} + \frac{2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Passaggio 9.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 3 z + 2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Passaggio 9.2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 + \frac{- 3 z + 2 z \cdot 2 - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Passaggio 9.2.1.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$8 + \frac{- 3 z + 4 z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Passaggio 9.2.1.7

Somma $- 3 z$ e $4 z$ .

$8 + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Passaggio 9.2.1.8

Per scrivere $8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Passaggio 9.2.1.9

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.9.1

$8$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 \cdot 2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Passaggio 9.2.1.9.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Passaggio 9.2.1.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.10.1

Moltiplica $8$ per $2$ .

$\frac{16 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Passaggio 9.2.1.10.2

Sottrai $31$ da $16$ .

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Passaggio 10

Risolvi per $z$ in $\frac{z - 15}{2} = 23$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Passaggio 10.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Passaggio 10.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Moltiplica $2$ per $23$ .

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Passaggio 10.3

Sposta tutti i termini non contenenti $z$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Somma $15$ a entrambi i lati dell'equazione.

$z = 46 + 15$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Passaggio 10.3.2

Somma $46$ e $15$ .

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $z$ con $61$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $z$ in $x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ con $61$ .

$x = \frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Passaggio 11.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica $\frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{3 (61) + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Passaggio 11.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.1

Moltiplica $3$ per $61$ .

$x = \frac{183 + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Passaggio 11.2.1.2.2

Somma $183$ e $31$ .

$x = \frac{214}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Passaggio 11.2.1.2.3

Dividi $214$ per $2$ .

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

Passaggio 11.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $z$ in $y = z - 8$ con $61$ .

$y = (61) - 8$

$x = 107$

$z = 61$

Passaggio 11.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Sottrai $8$ da $61$ .

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

Passaggio 12

Elenca tutte le soluzioni.

$y = 53, x = 107, z = 61$