Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] \cdot ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Passaggio 1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = 1 [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Passaggio 1.2

Moltiplica $1$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \cdot 0 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot - 3 & 1 \cdot 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Passaggio 1.3

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $0$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot - 3 & 1 \cdot 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 \cdot - 3 & 1 \cdot 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 3 & 1 \cdot 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Passaggio 1.4

Sposta $1$ alla sinistra di $[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = 1 \cdot [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Passaggio 1.5

Moltiplica $1$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \cdot 0 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot - 3 & 1 \cdot 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Passaggio 1.6

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica $0$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot - 3 & 1 \cdot 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Passaggio 1.6.2

Moltiplica $1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 \cdot - 3 & 1 \cdot 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Passaggio 1.6.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 3 & 1 \cdot 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Passaggio 1.6.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Passaggio 1.7

Moltiplica $[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Passaggio 1.7.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 x + 1 y \\ - 3 x + 1 y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Passaggio 1.7.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ - 3 x + y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Passaggio 1.8

Moltiplica $1$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ - 3 x + y \end{array}] [\begin{array}{c} 1 x \\ 1 y \end{array}]$

Passaggio 1.9

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ - 3 x + y \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ 1 y \end{array}]$

Passaggio 1.9.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ - 3 x + y \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$

Passaggio 2

È possibile scrivere l'equazione della matrice come un insieme di equazioni.

$21 = y$

$- 9 = - 3 x + y$

Passaggio 3

Riscrivi l'equazione come $y = 21$ .

$y = 21$

$- 9 = - 3 x + y$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $21$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $- 9 = - 3 x + y$ con $21$ .

$- 9 = - 3 x + 21$

$y = 21$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$- 9 = - 3 x + 21$

$y = 21$

$- 9 = - 3 x + 21$

$y = 21$

$- 9 = - 3 x + 21$

$y = 21$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ in $- 9 = - 3 x + 21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 x + 21 = - 9$ .

$- 3 x + 21 = - 9$

$y = 21$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $21$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x = - 9 - 21$

$y = 21$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $21$ da $- 9$ .

$- 3 x = - 30$

$y = 21$

$- 3 x = - 30$

$y = 21$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x = - 30$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x = - 30$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 30}{- 3}$

$y = 21$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 30}{- 3}$

$y = 21$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 30}{- 3}$

$y = 21$

$x = \frac{- 30}{- 3}$

$y = 21$

$x = \frac{- 30}{- 3}$

$y = 21$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $- 30$ per $- 3$ .

$x = 10$

$y = 21$

$x = 10$

$y = 21$

$x = 10$

$y = 21$

$x = 10$

$y = 21$

Passaggio 6

Risolvi il sistema di equazioni.

$x = 10 y = 21$

Passaggio 7

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 10, y = 21$