Algebra lineare Esempi

a ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 1 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + b ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 217 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + d ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 13 - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + g ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$a [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 8 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 7 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}] + g [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

Passaggio 1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Moltiplica

a

$a$ per ogni elemento della matrice.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a \cdot 1 a \cdot - 1 a \cdot 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + b ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 217 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + d ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 13 - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + g ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a \cdot 1 \\ a \cdot - 1 \\ a \cdot 8 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 7 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}] + g [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

Passaggio 1.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Moltiplica

a

$a$ per

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a a \cdot - 1 a \cdot 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + b ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 217 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + d ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 13 - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + g ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a \\ a \cdot - 1 \\ a \cdot 8 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 7 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}] + g [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta

- 1

$- 1$ alla sinistra di

a

$a$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - 1 \cdot a a \cdot 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + b ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 217 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + d ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 13 - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + g ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a \\ - 1 \cdot a \\ a \cdot 8 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 7 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}] + g [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

Passaggio 1.1.2.3

Riscrivi

- 1 a

$- 1 a$ come

- a

$- a$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - a a \cdot 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + b ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 217 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + d ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 13 - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + g ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a \\ - a \\ a \cdot 8 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 7 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}] + g [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta

8

$8$ alla sinistra di

a

$a$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - a 8 a \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + b ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 217 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + d ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 13 - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + g ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + b [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 7 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}] + g [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - a 8 a \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + b ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 217 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + d ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 13 - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + g ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

Passaggio 1.1.3

Moltiplica

b

$b$ per ogni elemento della matrice.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - a 8 a \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} b \cdot 2 b \cdot 1 b \cdot 7 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + d ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 13 - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + g ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \cdot 2 \\ b \cdot 1 \\ b \cdot 7 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}] + g [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

Passaggio 1.1.4

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Sposta

2

$2$ alla sinistra di

b

$b$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - a 8 a \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 b b \cdot 1 b \cdot 7 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + d ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 13 - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + g ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 b \\ b \cdot 1 \\ b \cdot 7 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}] + g [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

Passaggio 1.1.4.2

Moltiplica

b

$b$ per

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - a 8 a \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 b b b \cdot 7 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + d ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 13 - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + g ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 b \\ b \\ b \cdot 7 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}] + g [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

Passaggio 1.1.4.3

Sposta

7

$7$ alla sinistra di

b

$b$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - a 8 a \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 b b 7 b \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + d ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 13 - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + g ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 b \\ b \\ 7 b \end{array}] + d [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}] + g [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - a 8 a \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 b b 7 b \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + d ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 13 - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + g ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

Passaggio 1.1.5

Moltiplica

d

$d$ per ogni elemento della matrice.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - a 8 a \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 b b 7 b \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} d \cdot 1 d \cdot 3 d \cdot - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + g ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 b \\ b \\ 7 b \end{array}] + [\begin{array}{c} d \cdot 1 \\ d \cdot 3 \\ d \cdot - 4 \end{array}] + g [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

Passaggio 1.1.6

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Moltiplica

d

$d$ per

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - a 8 a \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 b b 7 b \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} d d \cdot 3 d \cdot - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + g ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 b \\ b \\ 7 b \end{array}] + [\begin{array}{c} d \\ d \cdot 3 \\ d \cdot - 4 \end{array}] + g [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

Passaggio 1.1.6.2

Sposta

3

$3$ alla sinistra di

d

$d$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - a 8 a \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 b b 7 b \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} d 3 d d \cdot - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + g ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 b \\ b \\ 7 b \end{array}] + [\begin{array}{c} d \\ 3 d \\ d \cdot - 4 \end{array}] + g [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

Passaggio 1.1.6.3

Sposta

- 4

$- 4$ alla sinistra di

d

$d$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - a 8 a \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 b b 7 b \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} d 3 d - 4 d \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + g ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 b \\ b \\ 7 b \end{array}] + [\begin{array}{c} d \\ 3 d \\ - 4 d \end{array}] + g [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - a 8 a \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 b b 7 b \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} d 3 d - 4 d \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + g ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

Passaggio 1.1.7

Moltiplica

g

$g$ per ogni elemento della matrice.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - a 8 a \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 b b 7 b \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} d 3 d - 4 d \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} g \cdot 3 g \cdot - 4 g \cdot 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 b \\ b \\ 7 b \end{array}] + [\begin{array}{c} d \\ 3 d \\ - 4 d \end{array}] + [\begin{array}{c} g \cdot 3 \\ g \cdot - 4 \\ g \cdot 36 \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

Passaggio 1.1.8

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Sposta

$3$ alla sinistra di

$g$ .

$[\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 b \\ b \\ 7 b \end{array}] + [\begin{array}{c} d \\ 3 d \\ - 4 d \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 g \\ g \cdot - 4 \\ g \cdot 36 \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

Passaggio 1.1.8.2

Sposta

$- 4$ alla sinistra di

$g$ .

$[\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 b \\ b \\ 7 b \end{array}] + [\begin{array}{c} d \\ 3 d \\ - 4 d \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 g \\ - 4 g \\ g \cdot 36 \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

Passaggio 1.1.8.3

Sposta

$36$ alla sinistra di

$g$ .

$[\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 b \\ b \\ 7 b \end{array}] + [\begin{array}{c} d \\ 3 d \\ - 4 d \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 g \\ - 4 g \\ 36 g \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

Passaggio 1.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} a + 2 b \\ - a + b \\ 8 a + 7 b \end{array}] + [\begin{array}{c} d \\ 3 d \\ - 4 d \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 g \\ - 4 g \\ 36 g \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} a + 2 b + d \\ - a + b + 3 d \\ 8 a + 7 b - 4 d \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 g \\ - 4 g \\ 36 g \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

Passaggio 1.4

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} a + 2 b + d + 3 g \\ - a + b + 3 d - 4 g \\ 8 a + 7 b - 4 d + 36 g \end{array}] = [\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}]$

Passaggio 2

È possibile scrivere l'equazione della matrice come un insieme di equazioni.

$a + 2 b + d + 3 g = 10$

$- a + b + 3 d - 4 g = - 15$

$8 a + 7 b - 4 d + 36 g = 131$