Algebra lineare Esempi

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = a ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 1 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + b ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 217 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + c ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 13 - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + d ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}] = a [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 8 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 7 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}]$

Passaggio 1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Moltiplica

a

$a$ per ogni elemento della matrice.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a \cdot 1 a \cdot - 1 a \cdot 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + b ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 217 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + c ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 13 - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + d ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}] = [\begin{array}{c} a \cdot 1 \\ a \cdot - 1 \\ a \cdot 8 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 7 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}]$

Passaggio 1.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Moltiplica

a

$a$ per

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a a \cdot - 1 a \cdot 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + b ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 217 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + c ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 13 - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + d ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}] = [\begin{array}{c} a \\ a \cdot - 1 \\ a \cdot 8 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 7 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}]$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta

- 1

$- 1$ alla sinistra di

a

$a$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 15 131 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - 1 \cdot a a \cdot 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + b ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 217 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + c ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 13 - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + d ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 - 4 36 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}] = [\begin{array}{c} a \\ - 1 \cdot a \\ a \cdot 8 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 7 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}]$

Passaggio 1.1.2.3

Riscrivi

- 1 a

$- 1 a$ come

- a

$- a$ .

$[\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}] = [\begin{array}{c} a \\ - a \\ a \cdot 8 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 7 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}]$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta

$8$ alla sinistra di

$a$ .

$[\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}] = [\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + b [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 7 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}]$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica

$b$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}] = [\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \cdot 2 \\ b \cdot 1 \\ b \cdot 7 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}]$

Passaggio 1.1.4

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Sposta

$2$ alla sinistra di

$b$ .

$[\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}] = [\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 b \\ b \cdot 1 \\ b \cdot 7 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}]$

Passaggio 1.1.4.2

Moltiplica

$b$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}] = [\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 b \\ b \\ b \cdot 7 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}]$

Passaggio 1.1.4.3

Sposta

$7$ alla sinistra di

$b$ .

$[\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}] = [\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 b \\ b \\ 7 b \end{array}] + c [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}]$

Passaggio 1.1.5

Moltiplica

$c$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}] = [\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 b \\ b \\ 7 b \end{array}] + [\begin{array}{c} c \cdot 1 \\ c \cdot 3 \\ c \cdot - 4 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}]$

Passaggio 1.1.6

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Moltiplica

$c$ per

$1$ .

$[\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}] = [\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 b \\ b \\ 7 b \end{array}] + [\begin{array}{c} c \\ c \cdot 3 \\ c \cdot - 4 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}]$

Passaggio 1.1.6.2

Sposta

$3$ alla sinistra di

$c$ .

$[\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}] = [\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 b \\ b \\ 7 b \end{array}] + [\begin{array}{c} c \\ 3 c \\ c \cdot - 4 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}]$

Passaggio 1.1.6.3

Sposta

$- 4$ alla sinistra di

$c$ .

$[\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}] = [\begin{array}{c} a \\ - a \\ 8 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 b \\ b \\ 7 b \end{array}] + [\begin{array}{c} c \\ 3 c \\ - 4 c \end{array}] + d [\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 36 \end{array}]$

Passaggio 1.1.7

Moltiplica

$d$ per ogni elemento della matrice.

Passaggio 1.1.8

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Sposta

$3$ alla sinistra di

$d$ .

Passaggio 1.1.8.2

Sposta

$- 4$ alla sinistra di

$d$ .

Passaggio 1.1.8.3

Sposta

$36$ alla sinistra di

$d$ .

Passaggio 1.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}] = [\begin{array}{c} a + 2 b \\ - a + b \\ 8 a + 7 b \end{array}] + [\begin{array}{c} c \\ 3 c \\ - 4 c \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 d \\ - 4 d \\ 36 d \end{array}]$

Passaggio 1.3

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}] = [\begin{array}{c} a + 2 b + c \\ - a + b + 3 c \\ 8 a + 7 b - 4 c \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 d \\ - 4 d \\ 36 d \end{array}]$

Passaggio 1.4

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 10 \\ - 15 \\ 131 \end{array}] = [\begin{array}{c} a + 2 b + c + 3 d \\ - a + b + 3 c - 4 d \\ 8 a + 7 b - 4 c + 36 d \end{array}]$

Passaggio 2

È possibile scrivere l'equazione della matrice come un insieme di equazioni.

$10 = a + 2 b + c + 3 d$

$- 15 = - a + b + 3 c - 4 d$

$131 = 8 a + 7 b - 4 c + 36 d$