Algebra lineare Esempi

$a [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Moltiplica $a$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} a \cdot 1 \\ a \cdot 2 \\ a \cdot - 1 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 1.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Moltiplica $a$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} a \\ a \cdot 2 \\ a \cdot - 1 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $a$ .

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ a \cdot - 1 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $a$ .

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - 1 \cdot a \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 1.1.2.4

Riscrivi $- 1 a$ come $- a$ .

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica $b$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \cdot 1 \\ b \cdot 3 \\ b \cdot - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 1.1.4

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Moltiplica $b$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ b \cdot 3 \\ b \cdot - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 1.1.4.2

Sposta $3$ alla sinistra di $b$ .

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ 3 b \\ b \cdot - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 1.1.4.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $b$ .

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ 3 b \\ - 2 b \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 1.1.5

Moltiplica $c$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ 3 b \\ - 2 b \end{array}] + [\begin{array}{c} c \cdot 3 \\ c \cdot 7 \\ c \cdot - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 1.1.6

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Sposta $3$ alla sinistra di $c$ .

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ 3 b \\ - 2 b \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 c \\ c \cdot 7 \\ c \cdot - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 1.1.6.2

Sposta $7$ alla sinistra di $c$ .

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ 3 b \\ - 2 b \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 c \\ 7 c \\ c \cdot - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 1.1.6.3

Sposta $- 4$ alla sinistra di $c$ .

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ 3 b \\ - 2 b \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 c \\ 7 c \\ - 4 c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 1.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} a + b \\ 2 a + 3 b \\ - a - 2 b \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 c \\ 7 c \\ - 4 c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} a + b + 3 c \\ 2 a + 3 b + 7 c \\ - a - 2 b - 4 c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 2

È possibile scrivere l'equazione della matrice come un insieme di equazioni.

$a + b + 3 c = 0$

$2 a + 3 b + 7 c = 0$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

Passaggio 3

Sposta tutti i termini non contenenti $a$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sottrai $b$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a + 3 c = - b$

$2 a + 3 b + 7 c = 0$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $3 c$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a = - b - 3 c$

$2 a + 3 b + 7 c = 0$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$2 a + 3 b + 7 c = 0$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $a$ con $- b - 3 c$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $a$ in $2 a + 3 b + 7 c = 0$ con $- b - 3 c$ .

$2 (- b - 3 c) + 3 b + 7 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica $2 (- b - 3 c) + 3 b + 7 c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (- b) + 2 (- 3 c) + 3 b + 7 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

Passaggio 4.2.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 b + 2 (- 3 c) + 3 b + 7 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

Passaggio 4.2.1.1.3

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$- 2 b - 6 c + 3 b + 7 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

$- 2 b - 6 c + 3 b + 7 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Somma $- 2 b$ e $3 b$ .

$b - 6 c + 7 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

Passaggio 4.2.1.2.2

Somma $- 6 c$ e $7 c$ .

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $a$ in $- a - 2 b - 4 c = 0$ con $- b - 3 c$ .

$- (- b - 3 c) - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

Passaggio 4.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Semplifica $- (- b - 3 c) - 2 b - 4 c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$b - (- 3 c) - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

Passaggio 4.4.1.1.2

Moltiplica $- - b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 b - (- 3 c) - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

Passaggio 4.4.1.1.2.2

Moltiplica $b$ per $1$ .

$b - (- 3 c) - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$b - (- 3 c) - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

Passaggio 4.4.1.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$b + 3 c - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$b + 3 c - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

Passaggio 4.4.1.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.1

Sottrai $2 b$ da $b$ .

$- b + 3 c - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

Passaggio 4.4.1.2.2

Sottrai $4 c$ da $3 c$ .

$- b - c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- b - c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- b - c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- b - c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- b - c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

Passaggio 5

Sottrai $c$ da entrambi i lati dell'equazione.

$b = - c$

$- b - c = 0$

$a = - b - 3 c$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $b$ con $- c$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $b$ in $- b - c = 0$ con $- c$ .

$- (- c) - c = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica $- (- c) - c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $- (- c)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 c - c = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

Passaggio 6.2.1.1.2

Moltiplica $c$ per $1$ .

$c - c = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

$c - c = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

Passaggio 6.2.1.2

Sottrai $c$ da $c$ .

$0 = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

$0 = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

$0 = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $b$ in $a = - b - 3 c$ con $- c$ .

$a = - (- c) - 3 c$

$0 = 0$

$b = - c$

Passaggio 6.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica $- (- c) - 3 c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Moltiplica $- (- c)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a = 1 c - 3 c$

$0 = 0$

$b = - c$

Passaggio 6.4.1.1.2

Moltiplica $c$ per $1$ .

$a = c - 3 c$

$0 = 0$

$b = - c$

$a = c - 3 c$

$0 = 0$

$b = - c$

Passaggio 6.4.1.2

Sottrai $3 c$ da $c$ .

$a = - 2 c$

$0 = 0$

$b = - c$

$a = - 2 c$

$0 = 0$

$b = - c$

$a = - 2 c$

$0 = 0$

$b = - c$

$a = - 2 c$

$0 = 0$

$b = - c$

Passaggio 7

Rimuovi qualsiasi equazione che è sempre vera dal sistema.

$a = - 2 c$

$b = - c$