Algebra lineare Esempi

$x + y - 2 z = 3$ , $2 x + 3 y + z = 13$ , $7 x + 9 y - 4 z = 35$

Passaggio 1

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 13 \\ 7 & 9 & - 4 & 35 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 2 & 13 - 2 \cdot 3 \\ 7 & 9 & - 4 & 35 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 7 & 9 & - 4 & 35 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Passaggio 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 9 - 7 \cdot 1 & - 4 - 7 \cdot - 2 & 35 - 7 \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 0 & 2 & 10 & 14 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Passaggio 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 10 - 2 \cdot 5 & 14 - 2 \cdot 7 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & - 2 - 5 & 3 - 7 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 7 & - 4 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x - 7 z = - 4$

$y + 5 z = 7$

Passaggio 4

Somma $7 z$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4 + 7 z$

$y + 5 z = 7$

Passaggio 5

Sottrai $5 z$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = 7 - 5 z$

$x = - 4 + 7 z$

Passaggio 6

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(- 4 + 7 z, 7 - 5 z, z)$

Passaggio 7

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 + 7 z \\ 7 - 5 z \\ z \end{array}]$