Algebra lineare Esempi

$x + y + 3 z = 11$ , $x + y + 8 z = 36$ , $x + 6 y + 2 z = 1$

Passaggio 1

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 1 & 1 & 8 & 36 \\ 1 & 6 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 8 - 3 & 36 - 11 \\ 1 & 6 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 0 & 0 & 5 & 25 \\ 1 & 6 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Passaggio 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 0 & 0 & 5 & 25 \\ 1 - 1 & 6 - 1 & 2 - 3 & 1 - 11 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 0 & 0 & 5 & 25 \\ 0 & 5 & - 1 & - 10 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 0 & 5 & - 1 & - 10 \\ 0 & 0 & 5 & 25 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{- 1}{5} & \frac{- 10}{5} \\ 0 & 0 & 5 & 25 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & - 2 \\ 0 & 0 & 5 & 25 \end{array}]$

Passaggio 2.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Passaggio 2.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & - 2 \\ \frac{0}{5} & \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{25}{5} \end{array}]$

Passaggio 2.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Passaggio 2.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{1}{5} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Passaggio 2.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{1}{5} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 0 + \frac{1}{5} \cdot 0 & 1 + \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \cdot 1 & - 2 + \frac{1}{5} \cdot 5 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Passaggio 2.6.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Passaggio 2.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Passaggio 2.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 11 - 3 \cdot 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Passaggio 2.7.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 4 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Passaggio 2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & - 4 + 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Passaggio 2.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

Passaggio 3

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x = - 3$

$y = - 1$

$z = 5$

Passaggio 4

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(- 3, - 1, 5)$

Passaggio 5

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ - 1 \\ 5 \end{array}]$