Algebra lineare Esempi

$x + 2 z = 0$ , $x - y + 5 z = 0$ , $2 x + y + z = 0$

Passaggio 1

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & - 1 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 - 0 & 5 - 2 & 0 - 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Passaggio 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & 3 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 3 & - 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Passaggio 2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 3 + 3 & 0 - 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x + 2 z = 0$

$y - 3 z = 0$

Passaggio 4

Sottrai $2 z$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2 z$

$y - 3 z = 0$

Passaggio 5

Somma $3 z$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 3 z$

$x = - 2 z$

Passaggio 6

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(- 2 z, 3 z, z)$

Passaggio 7

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 z \\ 3 z \\ z \end{array}]$