Algebra lineare Esempi

$4 x + 2 = 5 y - 3$ , $y = 3 x - 1$

Passaggio 1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 5 y - 3 - 2, y = 3 x - 1$

Passaggio 2

Sottrai $5 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x - 5 y = - 3 - 2, y = 3 x - 1$

Passaggio 3

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x - 5 y = - 3 - 2, y - 3 x = - 1$

Passaggio 4

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & - 5 & - 3 - 2 \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 5

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 5.1

Sottrai $2$ da $- 3$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 5 & - 5 \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{4}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{4}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{- 5}{4} & \frac{- 5}{4} \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 5.3

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 5.3.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 (- \frac{5}{4}) & - 1 + 3 (- \frac{5}{4}) \end{array}]$

Passaggio 5.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ 0 & - \frac{11}{4} & - \frac{19}{4} \end{array}]$

Passaggio 5.4

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{4}{11}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 5.4.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{4}{11}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ - \frac{4}{11} \cdot 0 & - \frac{4}{11} (- \frac{11}{4}) & - \frac{4}{11} (- \frac{19}{4}) \end{array}]$

Passaggio 5.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Passaggio 5.5

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{4} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 5.5.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{4} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{4} \cdot 0 & - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot 1 & - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{19}{11} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Passaggio 5.5.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{10}{11} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Passaggio 6

Usa la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x = \frac{10}{11}$

$y = \frac{19}{11}$

Passaggio 7

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(\frac{10}{11}, \frac{19}{11})$

Passaggio 8

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{10}{11} \\ \frac{19}{11} \end{array}]$