Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 1 - x & 1 & - 2 \\ - 1 & 2 - x & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - x \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.9

Add the terms together.

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

Passaggio 2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$ .

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$ .

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Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(1 - x) ((2 - x) (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Espandi $(2 - x) (- 1 - x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$(1 - x) (2 (- 1 - x) - x (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$(1 - x) (2 \cdot - 1 + 2 (- x) - x (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(1 - x) (2 \cdot - 1 + 2 (- x) - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(1 - x) (- 2 + 2 (- x) - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.1.2.1.3

Moltiplica $- x \cdot - 1$ .

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Passaggio 3.2.1.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + 1 x - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.1.2.1.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.1.2.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.2.1.5.1

Sposta $x$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x + 1 x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.1.2.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x + x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.1.2.2

Somma $- 2 x$ e $x$ .

$(1 - x) (- 2 - x + x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(1 - x) (- 2 - x + x^{2} - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$ .

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Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (1 (- 1 - x) - 1 \cdot - 2) + 0$

Passaggio 4.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $- 1 - x$ per $1$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- 1 - x - 1 \cdot - 2) + 0$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- 1 - x + 2) + 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 1$ e $2$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1) + 0$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.1

Somma $(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1)$ e $0$ .

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1)$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

Espandi $(1 - x) (- x + x^{2} - 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$1 (- x) + 1 x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$- x + 1 x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$- x + x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Passaggio 5.2.2.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- x + x^{2} - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Passaggio 5.2.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Passaggio 5.2.2.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.2.5.1

Sposta $x$ .

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Passaggio 5.2.2.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Passaggio 5.2.2.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- x + x^{2} - 3 + 1 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Passaggio 5.2.2.7

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Passaggio 5.2.2.8

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.2.8.1

Sposta $x^{2}$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - (x^{2} x) - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Passaggio 5.2.2.8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.2.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - (x^{2} x^{1}) - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Passaggio 5.2.2.8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{2 + 1} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Passaggio 5.2.2.8.3

Somma $2$ e $1$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

Passaggio 5.2.2.9

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} + 3 x + 1 (- x + 1)$

Passaggio 5.2.3

Somma $- x$ e $3 x$ .

$x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} + 2 x + 1 (- x + 1)$

Passaggio 5.2.4

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 3 - x^{3} + 2 x + 1 (- x + 1)$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $- x + 1$ per $1$ .

$2 x^{2} - 3 - x^{3} + 2 x - x + 1$

Passaggio 5.3

Somma $- 3$ e $1$ .

$2 x^{2} - x^{3} + 2 x - x - 2$

Passaggio 5.4

Sottrai $x$ da $2 x$ .

$2 x^{2} - x^{3} + x - 2$