Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} x & 1 & 0 & 0 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ 0 & 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$

Passaggio 1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.11

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$ .

$x | \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$ .

$x | \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Passaggio 4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Passaggio 4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Passaggio 4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Passaggio 4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 4.1.9

Add the terms together.

$x (x | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.2

Calcola $| \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x (x \cdot x - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x (x (x^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x (x (x^{2} - 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.3

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x (x^{2} - 1) - 1 (1 x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x (x (x^{2} - 1) - 1 (x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x (x (x^{2} - 1) - 1 (x - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.4

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x (x^{2} - 1) - 1 (x - 1) + 1 (1 \cdot 1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $1$ per $1$ .

$x (x (x^{2} - 1) - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x (x^{1} x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.5.1.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x (x^{1 + 2} + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.5.1.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$x (x^{3} + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.5.1.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$x (x^{3} - 1 \cdot x - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.5.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x (x^{3} - x - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.5.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$x (x^{3} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.5.1.6

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x (x^{3} - x - x - 1 \cdot - 1 + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.5.1.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x (x^{3} - x - x + 1 + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.5.1.8

Moltiplica $1 - x$ per $1$ .

$x (x^{3} - x - x + 1 + 1 - x) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$x (x^{3} - 2 x + 1 + 1 - x) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.5.3

Sottrai $x$ da $- 2 x$ .

$x (x^{3} - 3 x + 1 + 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 4.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Passaggio 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Passaggio 5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Passaggio 5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Passaggio 5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.1.9

Add the terms together.

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x & 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Passaggio 5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x & 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Passaggio 5.3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x & 1 \end{array} |$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0$

Passaggio 5.4

Calcola $| \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 (x \cdot x - 1 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0$

Passaggio 5.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 (x^{2} - 1 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0$

Passaggio 5.4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 (x^{2} - 1) + 0 + 0) + 0 + 0$

Passaggio 5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Combina i termini opposti in $1 (x^{2} - 1) + 0 + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Somma $1 (x^{2} - 1)$ e $0$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 (x^{2} - 1) + 0) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.1.2

Somma $1 (x^{2} - 1)$ e $0$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 (x^{2} - 1)) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $x^{2} - 1$ per $1$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1) + 0 + 0$

Passaggio 6

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Combina i termini opposti in $x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1) + 0 + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Somma $x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1)$ e $0$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1) + 0$

Passaggio 6.1.2

Somma $x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1)$ e $0$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1)$

Passaggio 6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x^{3} + x (- 3 x) + x \cdot 2 - 1 (x^{2} - 1)$

Passaggio 6.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{3} + x (- 3 x) + x \cdot 2 - 1 (x^{2} - 1)$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 3} + x (- 3 x) + x \cdot 2 - 1 (x^{2} - 1)$

Passaggio 6.2.2.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$x^{4} + x (- 3 x) + x \cdot 2 - 1 (x^{2} - 1)$

Passaggio 6.2.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{4} - 3 x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x^{2} - 1)$

Passaggio 6.2.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{4} - 3 x \cdot x + 2 \cdot x - 1 (x^{2} - 1)$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Sposta $x$ .

$x^{4} - 3 (x \cdot x) + 2 \cdot x - 1 (x^{2} - 1)$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 \cdot x - 1 (x^{2} - 1)$

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1 (x^{2} - 1)$

Passaggio 6.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.5

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - x^{2} - 1 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - x^{2} + 1$

Passaggio 6.3

Sottrai $x^{2}$ da $- 3 x^{2}$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 2 x + 1$