Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} a & b & c \\ d & e & f \\ 4 g & 4 h & 4 i \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} e & f \\ 4 h & 4 i \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a | \begin{array}{c} e & f \\ 4 h & 4 i \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} d & f \\ 4 g & 4 i \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- b | \begin{array}{c} d & f \\ 4 g & 4 i \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$c | \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

Passaggio 1.9

Add the terms together.

$a | \begin{array}{c} e & f \\ 4 h & 4 i \end{array} | - b | \begin{array}{c} d & f \\ 4 g & 4 i \end{array} | + c | \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

Passaggio 2

Calcola $| \begin{array}{c} e & f \\ 4 h & 4 i \end{array} |$ .

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (e (4 i) - 4 h f) - b | \begin{array}{c} d & f \\ 4 g & 4 i \end{array} | + c | \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

Passaggio 2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $e$ .

$a (4 e i - 4 h f) - b | \begin{array}{c} d & f \\ 4 g & 4 i \end{array} | + c | \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} d & f \\ 4 g & 4 i \end{array} |$ .

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Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (4 e i - 4 h f) - b (d (4 i) - 4 g f) + c | \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

Passaggio 3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $d$ .

$a (4 e i - 4 h f) - b (4 d i - 4 g f) + c | \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$ .

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Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (4 e i - 4 h f) - b (4 d i - 4 g f) + c (d (4 h) - 4 g e)$

Passaggio 4.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a (4 e i - 4 h f) - b (4 d i - 4 g f) + c (4 d h - 4 g e)$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$a (4 e i) + a (- 4 h f) - b (4 d i - 4 g f) + c (4 d h - 4 g e)$

Passaggio 5.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a \cdot 4 e i - 4 a h f - b (4 d i - 4 g f) + c (4 d h - 4 g e)$

Passaggio 5.3

Sposta $4$ alla sinistra di $a$ .

$4 a e i - 4 a h f - b (4 d i - 4 g f) + c (4 d h - 4 g e)$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$4 a e i - 4 a h f - b (4 d i) - b (- 4 g f) + c (4 d h - 4 g e)$

Passaggio 5.5

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 a e i - 4 a h f - 4 b (d i) - b (- 4 g f) + c (4 d h - 4 g e)$

Passaggio 5.6

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$4 a e i - 4 a h f - 4 b (d i) + 4 b (g f) + c (4 d h - 4 g e)$

Passaggio 5.7

Rimuovi le parentesi.

$4 a e i - 4 a h f - 4 b d i + 4 b g f + c (4 d h - 4 g e)$

Passaggio 5.8

Applica la proprietà distributiva.

$4 a e i - 4 a h f - 4 b d i + 4 b g f + c (4 d h) + c (- 4 g e)$

Passaggio 5.9

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 a e i - 4 a h f - 4 b d i + 4 b g f + 4 c d h + c (- 4 g e)$

Passaggio 5.10

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 a e i - 4 a h f - 4 b d i + 4 b g f + 4 c d h - 4 e c g$