Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$

Passaggio 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Passaggio 2

Find the determinant.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 6 - 4 \cdot 2$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 - 4 \cdot 2$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$6 - 8$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $8$ da $6$ .

$- 2$

Passaggio 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 2} [\begin{array}{c} 6 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array}]$

Passaggio 5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2} [\begin{array}{c} 6 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array}]$

Passaggio 6

Moltiplica $- \frac{1}{2}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot 6 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 7

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 7.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot 6 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot (2 (3)) & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 7.1.3

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 3) & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 7.1.4

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot 3 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 7.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} - 3 & \frac{- 1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 7.3.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1)) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 7.3.3

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} - 3 & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 7.3.4

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} - 3 & - 1 \cdot - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 7.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 \\ \frac{- 1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 7.5.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 \\ \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 2)) & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 7.5.3

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 \\ \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 2) & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 7.5.4

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 1 \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 7.6

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 \\ 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 7.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 \\ 2 & - \frac{1}{2} \end{array}]$