Algebra lineare Esempi

Determinare se Lineare [[x],[y]]=[[y],[x]]
[xy]=[yx][xy]=[yx]
Passaggio 1
La trasformazione definisce una mappa da 2 a 2. Per dimostrare che la trasformazione è lineare, deve conservare la moltiplicazione e l'addizione scalari e il vettore zero.
M: 22
Passaggio 2
Per prima cosa dimostra che la trasformazione conserva questa proprietà.
M(x+y)=M(x)+M(y)
Passaggio 3
Imposta due matrici per verificare che la proprietà di addizione venga mantenuta per M.
M([x1x2]+[y1y2])
Passaggio 4
Somma le due matrici.
M[x1+y1x2+y2]
Passaggio 5
Applica la trasformazione al vettore.
M(x+y)=[x2+y2x1+y1]
Passaggio 6
Suddividi il risultato in due matrici raggruppando le variabili.
M(x+y)=[x2x1]+[y2y1]
Passaggio 7
La proprietà additiva della trasformazione resta vera.
M(x+y)=M(x)+M(y)
Passaggio 8
Perché una trasformazione sia lineare, deve mantenere la moltiplicazione scalare.
M(px)=T(p[xy])
Passaggio 9
Scomponi la p da ciascun elemento.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1
Moltiplica p per ogni elemento nella matrice.
M(px)=M([pxpy])
Passaggio 9.2
Applica la trasformazione al vettore.

Passaggio 9.3
Riordina py.
M(px)=[py]
Passaggio 9.4
Scomponi l'elemento 0,0 moltiplicando py.
M(px)=[p(y)]
M(px)=[p(y)]
Passaggio 10
In questa trasformazione, la seconda proprietà delle trasformazioni lineari viene conservata.
M(p[xy])=pM(x)
Passaggio 11
Affinché la trasformazione sia lineare, il vettore zero deve essere conservato.
M(0)=0
Passaggio 12
Applica la trasformazione al vettore.
M(0)=[00]
Passaggio 13
Semplifica ogni elemento nella matrice.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1
Riordina 0.
M(0)=[00]
Passaggio 13.2
Riordina 0.
M(0)=[00]
M(0)=[00]
Passaggio 14
Il vettore zero è preservato nella trasformazione.
M(0)=0
Passaggio 15
Poiché non sono soddisfatte tutte e tre le proprietà delle trasformazioni lineari, non si tratta di una trasformazione lineare.
Trasformazione lineare
 [x2  12  π  xdx ]