Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ x \end{array}]$

Passaggio 1

La trasformazione definisce una mappa da $ℝ^{2}$ a $ℝ^{2}$ . Per dimostrare che la trasformazione è lineare, deve conservare la moltiplicazione e l'addizione scalari e il vettore zero.

M: $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

Passaggio 2

Per prima cosa dimostra che la trasformazione conserva questa proprietà.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Passaggio 3

Imposta due matrici per verificare che la proprietà di addizione venga mantenuta per $M$ .

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

Passaggio 4

Somma le due matrici.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

Passaggio 5

Applica la trasformazione al vettore.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} + y_{2} \\ x_{1} + y_{1} \end{array}]$

Passaggio 6

Suddividi il risultato in due matrici raggruppando le variabili.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} \\ x_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{2} \\ y_{1} \end{array}]$

Passaggio 7

La proprietà additiva della trasformazione resta vera.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Passaggio 8

Perché una trasformazione sia lineare, deve mantenere la moltiplicazione scalare.

$M (p x) = T (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Passaggio 9

Scomponi la $p$ da ciascun elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $p$ per ogni elemento nella matrice.

$M (p x) = M ([\begin{array}{c} p x \\ p y \end{array}])$

Passaggio 9.2

Applica la trasformazione al vettore.

Passaggio 9.3

Riordina $p y$ .

$M (p x) = [\begin{array}{c} p y \end{array}]$

Passaggio 9.4

Scomponi l'elemento $0, 0$ moltiplicando $p y$ .

$M (p x) = [\begin{array}{c} p (y) \end{array}]$

Passaggio 10

In questa trasformazione, la seconda proprietà delle trasformazioni lineari viene conservata.

$M (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]) = p M (x)$

Passaggio 11

Affinché la trasformazione sia lineare, il vettore zero deve essere conservato.

$M (0) = 0$

Passaggio 12

Applica la trasformazione al vettore.

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 13

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Riordina $0$ .

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 13.2

Riordina $0$ .

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 14

Il vettore zero è preservato nella trasformazione.

$M (0) = 0$

Passaggio 15

Poiché non sono soddisfatte tutte e tre le proprietà delle trasformazioni lineari, non si tratta di una trasformazione lineare.

Trasformazione lineare