Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $3$ è la matrice quadrata $3 \times 3$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $I_{3}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.6

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.6.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.6.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 + 0 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 - λ & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Somma $- 1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 - λ & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma $- 1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 & - 1 \\ - 2 + 0 & - 3 - λ & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.3

Somma $- 2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 - λ & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.4

Somma $- 2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 - λ & - 2 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.5

Somma $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 - λ & - 2 \\ 2 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.6

Somma $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 - λ & - 2 \\ 2 & 2 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 2 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 2 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2

Calcola $| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((- 3 - λ) (1 - λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.1

Espandi $(- 3 - λ) (1 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 \cdot 1 - 3 (- λ) - λ (1 - λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 \cdot 1 - 3 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 - 3 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ + λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.2.2

Sottrai $λ$ da $3 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 2 λ + λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 2 λ + λ^{2} + 4) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.2

Somma $- 3$ e $4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (2 λ + λ^{2} + 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2.2.3

Riordina $2 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3

Calcola $| \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (- 2 (1 - λ) - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (- 2 \cdot 1 - 2 (- λ) - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (- 2 - 2 (- λ) - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (- 2 + 2 λ - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (- 2 + 2 λ + 4) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.2

Somma $- 2$ e $4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4

Calcola $| \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (- 2 \cdot 2 - 2 (- 3 - λ))$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (- 4 - 2 (- 3 - λ))$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (- 4 - 2 \cdot - 3 - 2 (- λ))$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (- 4 + 6 - 2 (- λ))$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (- 4 + 6 + 2 λ)$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $- 4$ e $6$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (2 + 2 λ)$

Passaggio 1.5.4.2.3

Riordina $2$ e $2 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (2 λ + 2)$

Passaggio 1.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Combina i termini opposti in $(- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (2 λ + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1.1

Sottrai $1 (2 λ + 2)$ da $1 (2 λ + 2)$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 0$

Passaggio 1.5.5.1.2

Somma $(- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1)$ e $0$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1)$

Passaggio 1.5.5.2

Espandi $(- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 2 (2 λ) - 2 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

Passaggio 1.5.5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

Passaggio 1.5.5.3.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

Passaggio 1.5.5.3.3

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.3.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - (λ^{2} λ) - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

Passaggio 1.5.5.3.3.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.3.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

Passaggio 1.5.5.3.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{2 + 1} - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

Passaggio 1.5.5.3.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

Passaggio 1.5.5.3.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - λ \cdot 1$

Passaggio 1.5.5.3.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - 1 \cdot 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 1$

Passaggio 1.5.5.3.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ^{2} - λ \cdot 1$

Passaggio 1.5.5.3.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - 2 λ^{2} - λ \cdot 1$

Passaggio 1.5.5.3.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - 2 λ^{2} - λ$

Passaggio 1.5.5.4

Sottrai $2 λ^{2}$ da $- 2 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - λ$

Passaggio 1.5.5.5

Sottrai $λ$ da $- 4 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 5 λ - 2 - λ^{3}$

Passaggio 1.5.5.6

Sposta $- 2$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 5 λ - λ^{3} - 2$

Passaggio 1.5.5.7

Sposta $- 5 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - λ^{3} - 5 λ - 2$

Passaggio 1.5.5.8

Riordina $- 4 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 4 λ^{2} - 5 λ - 2$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$- λ^{3} - 4 λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Scomponi $- 1$ da $- λ^{3} - 4 λ^{2} - 5 λ - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1.1

Scomponi $- 1$ da $- λ^{3}$ .

$- (λ^{3}) - 4 λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

Passaggio 1.7.1.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 4 λ^{2}$ .

$- (λ^{3}) - (4 λ^{2}) - 5 λ - 2 = 0$

Passaggio 1.7.1.1.3

Scomponi $- 1$ da $- 5 λ$ .

$- (λ^{3}) - (4 λ^{2}) - (5 λ) - 2 = 0$

Passaggio 1.7.1.1.4

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$- (λ^{3}) - (4 λ^{2}) - (5 λ) - 1 \cdot 2 = 0$

Passaggio 1.7.1.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (λ^{3}) - (4 λ^{2})$ .

$- (λ^{3} + 4 λ^{2}) - (5 λ) - 1 \cdot 2 = 0$

Passaggio 1.7.1.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (λ^{3} + 4 λ^{2}) - (5 λ)$ .

$- (λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ) - 1 \cdot 2 = 0$

Passaggio 1.7.1.1.7

Scomponi $- 1$ da $- (λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ) - 1 (2)$ .

$- (λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ + 2) = 0$

Passaggio 1.7.1.2

Scomponi $λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ + 2$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.7.1.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2$

Passaggio 1.7.1.2.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} + 4 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 1.7.1.2.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 + 4 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 1.7.1.2.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 1.7.1.2.3.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 1 + 4 + 5 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 1.7.1.2.3.5

Somma $- 1$ e $4$ .

$3 + 5 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 1.7.1.2.3.6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$3 - 5 + 2$

Passaggio 1.7.1.2.3.7

Sottrai $5$ da $3$ .

$- 2 + 2$

Passaggio 1.7.1.2.3.8

Somma $- 2$ e $2$ .

$0$

Passaggio 1.7.1.2.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $λ + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ + 2}{λ + 1}$

Passaggio 1.7.1.2.5

Dividi $λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ + 2$ per $λ + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$5 λ$

$2$

Passaggio 1.7.1.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $λ^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$

Passaggio 1.7.1.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

Passaggio 1.7.1.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $λ^{3} + λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

Passaggio 1.7.1.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$

Passaggio 1.7.1.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$

Passaggio 1.7.1.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 λ^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$3 λ$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$

Passaggio 1.7.1.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$λ^{2}$	+	$3 λ$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					+	$3 λ^{2}$	+	$3 λ$

Passaggio 1.7.1.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 λ^{2} + 3 λ$

				$λ^{2}$	+	$3 λ$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$

Passaggio 1.7.1.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$λ^{2}$	+	$3 λ$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$
							+	$2 λ$

Passaggio 1.7.1.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$λ^{2}$	+	$3 λ$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$
							+	$2 λ$	+	$2$

Passaggio 1.7.1.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 λ$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$3 λ$	+	$2$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$
							+	$2 λ$	+	$2$

Passaggio 1.7.1.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$λ^{2}$	+	$3 λ$	+	$2$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$
							+	$2 λ$	+	$2$
							+	$2 λ$	+	$2$

Passaggio 1.7.1.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 λ + 2$

				$λ^{2}$	+	$3 λ$	+	$2$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$
							+	$2 λ$	+	$2$
							-	$2 λ$	-	$2$

Passaggio 1.7.1.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$λ^{2}$	+	$3 λ$	+	$2$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$
							+	$2 λ$	+	$2$
							-	$2 λ$	-	$2$
										$0$

Passaggio 1.7.1.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$λ^{2} + 3 λ + 2$

Passaggio 1.7.1.2.6

Scrivi $λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ + 2$ come insieme di fattori.

$- ((λ + 1) (λ^{2} + 3 λ + 2)) = 0$

Passaggio 1.7.1.3

Scomponi $λ^{2} + 3 λ + 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.3.1

Scomponi $λ^{2} + 3 λ + 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.7.1.3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $3$ .

$1, 2$

Passaggio 1.7.1.3.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- ((λ + 1) ((λ + 1) (λ + 2))) = 0$

Passaggio 1.7.1.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- ((λ + 1) (λ + 1) (λ + 2)) = 0$

Passaggio 1.7.1.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.4.1

Combina i fattori comuni.

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Passaggio 1.7.1.4.1.1

Eleva $λ + 1$ alla potenza di $1$ .

$- ((λ + 1) (λ + 1) (λ + 2)) = 0$

Passaggio 1.7.1.4.1.2

Eleva $λ + 1$ alla potenza di $1$ .

$- ((λ + 1) (λ + 1) (λ + 2)) = 0$

Passaggio 1.7.1.4.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- ({(λ + 1)}^{1 + 1} (λ + 2)) = 0$

Passaggio 1.7.1.4.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$- ({(λ + 1)}^{2} (λ + 2)) = 0$

Passaggio 1.7.1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- {(λ + 1)}^{2} (λ + 2) = 0$

Passaggio 1.7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(λ + 1)}^{2} = 0$

$λ + 2 = 0$

Passaggio 1.7.3

Imposta ${(λ + 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Imposta ${(λ + 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(λ + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 1.7.3.2

Risolvi ${(λ + 1)}^{2} = 0$ per $λ$ .

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Passaggio 1.7.3.2.1

Poni $λ + 1$ uguale a $0$ .

$λ + 1 = 0$

Passaggio 1.7.3.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$λ = - 1$

Passaggio 1.7.4

Imposta $λ + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Imposta $λ + 2$ uguale a $0$ .

$λ + 2 = 0$

Passaggio 1.7.4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$λ = - 2$

Passaggio 1.7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- {(λ + 1)}^{2} (λ + 2) = 0$ vera.

$λ = - 1, - 2$

Passaggio 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Passaggio 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} - 2 + 1 & - 1 + 0 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 + 1 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Simplify each element.

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Passaggio 3.2.2.1

Somma $- 2$ e $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 + 0 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 + 1 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 + 1 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.3

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 + 0 & - 3 + 1 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.4

Somma $- 2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 + 1 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.5

Somma $- 3$ e $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 2 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.6

Somma $- 2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 2 & - 2 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.7

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 2 & - 2 \\ 2 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.8

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 2 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.9

Somma $1$ e $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 2 & - 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

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Passaggio 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - - 1 & - - 1 & - 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y + z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - y - z \\ y \\ z \end{array}]$

Passaggio 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | y, z \in R}$

Passaggio 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $2$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.4

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.6

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.7

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.8

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.9

Moltiplica $2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} - 2 + 2 & - 1 + 0 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 + 2 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3

Simplify each element.

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Passaggio 4.2.3.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 + 0 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 + 2 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 + 2 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 + 0 & - 3 + 2 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4

Somma $- 2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 + 2 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.5

Somma $- 3$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 1 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.6

Somma $- 2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 1 & - 2 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.7

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 1 & - 2 \\ 2 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.8

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 1 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.9

Somma $1$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 1 & - 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Find the null space when $λ = - 2$ .

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Passaggio 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ - 2 & - 1 & - 2 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 4.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 2 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 4.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 1 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Passaggio 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 (\frac{1}{2}) & 3 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - - 1 & - 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Passaggio 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.6.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{2} z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{2} \\ - z \\ z \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Passaggio 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$