Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $2$ è la matrice quadrata $2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $I_{2}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1.3 - λ & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Somma $0.4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1.3 - λ & 0.4 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma $- 0.2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1.3 - λ & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1.3 - λ) (1.9 - λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1

Espandi $(1.3 - λ) (1.9 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 1.3 (1.9 - λ) - λ (1.9 - λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Passaggio 1.5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 1.3 \cdot 1.9 + 1.3 (- λ) - λ (1.9 - λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Passaggio 1.5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 1.3 \cdot 1.9 + 1.3 (- λ) - λ \cdot 1.9 - λ (- λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Passaggio 1.5.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1.1

Moltiplica $1.3$ per $1.9$ .

$p (λ) = 2.47 + 1.3 (- λ) - λ \cdot 1.9 - λ (- λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1.3$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - λ \cdot 1.9 - λ (- λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.3

Moltiplica $1.9$ per $- 1$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ - λ (- λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ + 1 λ^{2} - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ + λ^{2} - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Passaggio 1.5.2.1.2.2

Sottrai $1.9 λ$ da $- 1.3 λ$ .

$p (λ) = 2.47 - 3.2 λ + λ^{2} - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Passaggio 1.5.2.1.3

Moltiplica $- (- 0.2 \cdot 0.4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.3.1

Moltiplica $- 0.2$ per $0.4$ .

$p (λ) = 2.47 - 3.2 λ + λ^{2} - - 0.08$

Passaggio 1.5.2.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 0.08$ .

$p (λ) = 2.47 - 3.2 λ + λ^{2} + 0.08$

Passaggio 1.5.2.2

Somma $2.47$ e $0.08$ .

$p (λ) = - 3.2 λ + λ^{2} + 2.55$

Passaggio 1.5.2.3

Riordina $- 3.2 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 3.2 λ + 2.55$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{2} - 3.2 λ + 2.55 = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 3.2$ e $c = 2.55$ nella formula quadratica e risolvi per $λ$ .

$\frac{3.2 \pm \sqrt{{(- 3.2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2.55)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.1

Eleva $- 3.2$ alla potenza di $2$ .

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{10.24 - 4 \cdot 1 \cdot 2.55}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2.55$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{10.24 - 4 \cdot 2.55}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $2.55$ .

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{10.24 - 10.2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.3

Sottrai $10.2$ da $10.24$ .

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{0.04}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.4

Riscrivi $0.04$ come ${0.2}^{2}$ .

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{{0.2}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$λ = \frac{3.2 \pm 0.2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$λ = \frac{3.2 \pm 0.2}{2}$

Passaggio 1.7.3.3

Semplifica $\frac{3.2 \pm 0.2}{2}$ .

$λ = \frac{16 \pm 1}{10}$

Passaggio 1.7.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$λ = \frac{17}{10}, \frac{3}{2}$

Passaggio 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Passaggio 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{17}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] - \frac{17}{10} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $- \frac{17}{10}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} \cdot 1 & - \frac{17}{10} \cdot 0 \\ - \frac{17}{10} \cdot 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & - \frac{17}{10} \cdot 0 \\ - \frac{17}{10} \cdot 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica $- \frac{17}{10} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 (\frac{17}{10}) \\ - \frac{17}{10} \cdot 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{17}{10}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 \\ - \frac{17}{10} \cdot 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.3

Moltiplica $- \frac{17}{10} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 \\ 0 (\frac{17}{10}) & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $\frac{17}{10}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 \\ 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 \\ 0 & - \frac{17}{10} \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 1.3 - \frac{17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per scrivere $1.3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{10}{10}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 \cdot \frac{10}{10} - \frac{17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.2

$1.3$ e $\frac{10}{10}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1.3 \cdot 10}{10} - \frac{17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} \frac{1.3 \cdot 10 - 17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.4.1

Moltiplica $1.3$ per $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{13 - 17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.4.2

Sottrai $17$ da $13$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 4}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.5

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.5.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 (- 2)}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{- 2}{5} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.7

Somma $0.4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.8

Somma $- 0.2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.9

Per scrivere $1.9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{10}{10}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \cdot \frac{10}{10} - \frac{17}{10} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.10

$1.9$ e $\frac{10}{10}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1.9 \cdot 10}{10} - \frac{17}{10} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1.9 \cdot 10 - 17}{10} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.12.1

Moltiplica $1.9$ per $10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{19 - 17}{10} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.12.2

Sottrai $17$ da $19$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{2}{10} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.13

Elimina il fattore comune di $2$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.13.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{2 (1)}{10} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.13.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1}{5} \end{array}]$

Passaggio 3.3

Find the null space when $λ = \frac{17}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 & 0 \\ - 0.2 & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{5}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{5}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} (- \frac{2}{5}) & - \frac{5}{2} \cdot 0.4 & - \frac{5}{2} \cdot 0 \\ - 0.2 & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 0.2 & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 0.2 + 0.2 \cdot 1 & \frac{1}{5} + 0.2 \cdot - 1 & 0 + 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Passaggio 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{3}{2}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] - \frac{3}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $- \frac{3}{2}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{3}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

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Passaggio 4.2.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 (\frac{3}{2}) \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{3}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3

Moltiplica $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

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Passaggio 4.2.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 (\frac{3}{2}) & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $\frac{3}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 1.3 - \frac{3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3

Simplify each element.

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Passaggio 4.2.3.1

Per scrivere $1.3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.2

$1.3$ e $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1.3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} \frac{1.3 \cdot 2 - 3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.3.4.1

Moltiplica $1.3$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2.6 - 3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4.2

Sottrai $3$ da $2.6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 0.4}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.5

Dividi $- 0.4$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.6

Somma $0.4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.7

Somma $- 0.2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.8

Per scrivere $1.9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.9

$1.9$ e $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1.9 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1.9 \cdot 2 - 3}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.3.11.1

Moltiplica $1.9$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{3.8 - 3}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.11.2

Sottrai $3$ da $3.8$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{0.8}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.12

Dividi $0.8$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & 0.4 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Find the null space when $λ = \frac{3}{2}$ .

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Passaggio 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 & 0 \\ - 0.2 & 0.4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 0.2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 0.2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 0.2}{- 0.2} & \frac{0.4}{- 0.2} & \frac{0}{- 0.2} \\ - 0.2 & 0.4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ - 0.2 & 0.4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ - 0.2 + 0.2 \cdot 1 & 0.4 + 0.2 \cdot - 2 & 0 + 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 2 y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 y \\ y \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]}$