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Algebra lineare Esempi
Passaggio 1
Passaggio 1.1
Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica .
Passaggio 1.2
La matrice identità o matrice unità della dimensione è la matrice quadrata con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.
Passaggio 1.3
Sostituisci i valori noti in .
Passaggio 1.3.1
Sostituisci per .
Passaggio 1.3.2
Sostituisci per .
Passaggio 1.4
Semplifica.
Passaggio 1.4.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 1.4.1.1
Moltiplica per ogni elemento della matrice.
Passaggio 1.4.1.2
Semplifica ogni elemento nella matrice.
Passaggio 1.4.1.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.4.1.2.2
Moltiplica .
Passaggio 1.4.1.2.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.4.1.2.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.4.1.2.3
Moltiplica .
Passaggio 1.4.1.2.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.4.1.2.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.4.1.2.4
Moltiplica .
Passaggio 1.4.1.2.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.4.1.2.4.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.4.1.2.5
Moltiplica per .
Passaggio 1.4.1.2.6
Moltiplica .
Passaggio 1.4.1.2.6.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.4.1.2.6.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.4.1.2.7
Moltiplica .
Passaggio 1.4.1.2.7.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.4.1.2.7.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.4.1.2.8
Moltiplica .
Passaggio 1.4.1.2.8.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.4.1.2.8.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.4.1.2.9
Moltiplica per .
Passaggio 1.4.2
Aggiungi gli elementi corrispondenti.
Passaggio 1.4.3
Simplify each element.
Passaggio 1.4.3.1
Somma e .
Passaggio 1.4.3.2
Somma e .
Passaggio 1.4.3.3
Somma e .
Passaggio 1.4.3.4
Somma e .
Passaggio 1.4.3.5
Somma e .
Passaggio 1.4.3.6
Somma e .
Passaggio 1.5
Find the determinant.
Passaggio 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Passaggio 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Passaggio 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Passaggio 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Passaggio 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Passaggio 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Passaggio 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Passaggio 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Passaggio 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Passaggio 1.5.1.9
Add the terms together.
Passaggio 1.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.5.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.5.4
Calcola .
Passaggio 1.5.4.1
È possibile trovare il determinante di una matrice usando la formula .
Passaggio 1.5.4.2
Semplifica il determinante.
Passaggio 1.5.4.2.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 1.5.4.2.1.1
Espandi usando il metodo FOIL.
Passaggio 1.5.4.2.1.1.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.5.4.2.1.1.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.5.4.2.1.1.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.5.4.2.1.2
Semplifica e combina i termini simili.
Passaggio 1.5.4.2.1.2.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.3
Moltiplica .
Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.4
Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.
Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.5
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.5.1
Sposta .
Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.6
Moltiplica per .
Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.7
Moltiplica per .
Passaggio 1.5.4.2.1.2.2
Somma e .
Passaggio 1.5.4.2.1.2.3
Somma e .
Passaggio 1.5.4.2.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.5.4.2.2
Sottrai da .
Passaggio 1.5.5
Semplifica il determinante.
Passaggio 1.5.5.1
Combina i termini opposti in .
Passaggio 1.5.5.1.1
Somma e .
Passaggio 1.5.5.1.2
Somma e .
Passaggio 1.5.5.2
Espandi usando il metodo FOIL.
Passaggio 1.5.5.2.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.5.5.2.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.5.5.2.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.5.5.3
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 1.5.5.3.1
Riscrivi come .
Passaggio 1.5.5.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.5.5.3.3
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Passaggio 1.5.5.3.3.1
Sposta .
Passaggio 1.5.5.3.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.5.5.3.3.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.5.5.3.3.2.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.5.5.3.3.3
Somma e .
Passaggio 1.5.5.3.4
Moltiplica per .
Passaggio 1.5.5.4
Sposta .
Passaggio 1.5.5.5
Riordina e .
Passaggio 1.6
Imposta il polinomio caratteristico pari a per trovare gli autovalori .
Passaggio 1.7
Risolvi per .
Passaggio 1.7.1
Scomponi il primo membro dell'equazione.
Passaggio 1.7.1.1
Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.
Passaggio 1.7.1.1.1
Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.
Passaggio 1.7.1.1.2
Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.
Passaggio 1.7.1.2
Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, .
Passaggio 1.7.2
Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a , l'intera espressione sarà uguale a .
Passaggio 1.7.3
Imposta uguale a e risolvi per .
Passaggio 1.7.3.1
Imposta uguale a .
Passaggio 1.7.3.2
Risolvi per .
Passaggio 1.7.3.2.1
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 1.7.3.2.2
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Passaggio 1.7.3.2.2.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 1.7.3.2.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 1.7.3.2.2.2.1
Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.
Passaggio 1.7.3.2.2.2.2
Dividi per .
Passaggio 1.7.3.2.2.3
Semplifica il lato destro.
Passaggio 1.7.3.2.2.3.1
Dividi per .
Passaggio 1.7.4
Imposta uguale a e risolvi per .
Passaggio 1.7.4.1
Imposta uguale a .
Passaggio 1.7.4.2
Risolvi per .
Passaggio 1.7.4.2.1
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 1.7.4.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Passaggio 1.7.4.2.3
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 1.7.4.2.3.1
Per prima cosa, utilizza il valore positivo di per trovare la prima soluzione.
Passaggio 1.7.4.2.3.2
Ora, utilizza il valore negativo del per trovare la seconda soluzione.
Passaggio 1.7.4.2.3.3
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 1.7.5
La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono vera.
Passaggio 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Passaggio 3
Passaggio 3.1
Sostituisci i valori noti nella formula.
Passaggio 3.2
Semplifica.
Passaggio 3.2.1
Aggiungi gli elementi corrispondenti.
Passaggio 3.2.2
Simplify each element.
Passaggio 3.2.2.1
Somma e .
Passaggio 3.2.2.2
Somma e .
Passaggio 3.2.2.3
Somma e .
Passaggio 3.2.2.4
Somma e .
Passaggio 3.2.2.5
Somma e .
Passaggio 3.2.2.6
Somma e .
Passaggio 3.2.2.7
Somma e .
Passaggio 3.2.2.8
Somma e .
Passaggio 3.2.2.9
Somma e .
Passaggio 3.3
Find the null space when .
Passaggio 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Passaggio 3.3.2
Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.
Passaggio 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Passaggio 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Passaggio 3.3.2.1.2
Semplifica .
Passaggio 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Passaggio 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Passaggio 3.3.2.2.2
Semplifica .
Passaggio 3.3.2.3
Swap with to put a nonzero entry at .
Passaggio 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Passaggio 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Passaggio 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Passaggio 3.3.6
Write as a solution set.
Passaggio 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Passaggio 4
Passaggio 4.1
Sostituisci i valori noti nella formula.
Passaggio 4.2
Semplifica.
Passaggio 4.2.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 4.2.1.1
Moltiplica per ogni elemento della matrice.
Passaggio 4.2.1.2
Semplifica ogni elemento nella matrice.
Passaggio 4.2.1.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.1.2.2
Moltiplica .
Passaggio 4.2.1.2.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.1.2.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.1.2.3
Moltiplica .
Passaggio 4.2.1.2.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.1.2.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.1.2.4
Moltiplica .
Passaggio 4.2.1.2.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.1.2.4.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.1.2.5
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.1.2.6
Moltiplica .
Passaggio 4.2.1.2.6.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.1.2.6.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.1.2.7
Moltiplica .
Passaggio 4.2.1.2.7.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.1.2.7.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.1.2.8
Moltiplica .
Passaggio 4.2.1.2.8.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.1.2.8.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.1.2.9
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.2
Aggiungi gli elementi corrispondenti.
Passaggio 4.2.3
Simplify each element.
Passaggio 4.2.3.1
Somma e .
Passaggio 4.2.3.2
Somma e .
Passaggio 4.2.3.3
Somma e .
Passaggio 4.2.3.4
Somma e .
Passaggio 4.2.3.5
Somma e .
Passaggio 4.2.3.6
Somma e .
Passaggio 4.3
Find the null space when .
Passaggio 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
Passaggio 4.3.2
Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.
Passaggio 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Passaggio 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Passaggio 4.3.2.1.2
Semplifica .
Passaggio 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Passaggio 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Passaggio 4.3.2.2.2
Semplifica .
Passaggio 4.3.2.3
Multiply each element of by to make the entry at a .
Passaggio 4.3.2.3.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Passaggio 4.3.2.3.2
Semplifica .
Passaggio 4.3.2.4
Perform the row operation to make the entry at a .
Passaggio 4.3.2.4.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Passaggio 4.3.2.4.2
Semplifica .
Passaggio 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Passaggio 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Passaggio 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Passaggio 4.3.6
Write as a solution set.
Passaggio 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Passaggio 5
Passaggio 5.1
Sostituisci i valori noti nella formula.
Passaggio 5.2
Semplifica.
Passaggio 5.2.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 5.2.1.1
Moltiplica per ogni elemento della matrice.
Passaggio 5.2.1.2
Semplifica ogni elemento nella matrice.
Passaggio 5.2.1.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.1.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.1.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.1.2.4
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.1.2.5
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.1.2.6
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.1.2.7
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.1.2.8
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.1.2.9
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.2
Aggiungi gli elementi corrispondenti.
Passaggio 5.2.3
Simplify each element.
Passaggio 5.2.3.1
Somma e .
Passaggio 5.2.3.2
Somma e .
Passaggio 5.2.3.3
Somma e .
Passaggio 5.2.3.4
Somma e .
Passaggio 5.2.3.5
Somma e .
Passaggio 5.2.3.6
Somma e .
Passaggio 5.3
Find the null space when .
Passaggio 5.3.1
Write as an augmented matrix for .
Passaggio 5.3.2
Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.
Passaggio 5.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Passaggio 5.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Passaggio 5.3.2.1.2
Semplifica .
Passaggio 5.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Passaggio 5.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Passaggio 5.3.2.2.2
Semplifica .
Passaggio 5.3.2.3
Multiply each element of by to make the entry at a .
Passaggio 5.3.2.3.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Passaggio 5.3.2.3.2
Semplifica .
Passaggio 5.3.2.4
Perform the row operation to make the entry at a .
Passaggio 5.3.2.4.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Passaggio 5.3.2.4.2
Semplifica .
Passaggio 5.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Passaggio 5.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Passaggio 5.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Passaggio 5.3.6
Write as a solution set.
Passaggio 5.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Passaggio 6
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.