Algebra lineare Esempi

[\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione

2

$2$ è la matrice quadrata

2 \times 2

$2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci

A

$A$ per

[\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 3.2

Sostituisci

I_{2}

$I_{2}$ per

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica

- λ

$- λ$ per ogni elemento della matrice.

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai

$λ$ da

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma

$1$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Somma

$- 1$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.4

Sottrai

$λ$ da

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sposta

$λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica

$λ$ per

$λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$p (λ) = 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica

$λ^{2}$ per

$1$ .

$p (λ) = λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica

$- (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$p (λ) = λ^{2} - - 1$

Passaggio 5.2.5.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a

$0$ per trovare gli autovalori

$λ$ .

$λ^{2} + 1 = 0$

Passaggio 7

Risolvi per

$λ$ .

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Passaggio 7.1

Sottrai

$1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$λ^{2} = - 1$

Passaggio 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 7.3

Riscrivi

$\sqrt{- 1}$ come

$i$ .

$λ = \pm i$

Passaggio 7.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di

$\pm$ per trovare la prima soluzione.

$λ = i$

Passaggio 7.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del

$\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$λ = - i$

Passaggio 7.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$λ = i, - i$