Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $3$ è la matrice quadrata $3 \times 3$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Passaggio 3.2

Sostituisci $I_{3}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Somma $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.4

Somma $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 & 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Passaggio 5.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Passaggio 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Passaggio 5.3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 5.4

Calcola $| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$ .

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Passaggio 5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) ((- 4 - λ) (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Espandi $(- 4 - λ) (- 4 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 (- 4 - λ) - λ (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 \cdot - 4 - 4 (- λ) - λ (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 \cdot - 4 - 4 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.2.1.1

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 - 4 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.2.2

Somma $4 λ$ e $4 λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 8 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

Passaggio 5.4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 8 λ + λ^{2} - 1) + 0$

Passaggio 5.4.2.2

Sottrai $1$ da $16$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (8 λ + λ^{2} + 15) + 0$

Passaggio 5.4.2.3

Riordina $8 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$

Passaggio 5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Combina i termini opposti in $0 + (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Somma $0$ e $(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$

Passaggio 5.5.1.2

Somma $(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ e $0$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$

Passaggio 5.5.2

Espandi $(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 6 (8 λ) - 6 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Passaggio 5.5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Moltiplica $8$ per $- 6$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 6 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Passaggio 5.5.3.2

Moltiplica $- 6$ per $15$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Passaggio 5.5.3.3

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.3.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - (λ^{2} λ) - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Passaggio 5.5.3.3.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.3.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Passaggio 5.5.3.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{2 + 1} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Passaggio 5.5.3.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Passaggio 5.5.3.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 λ \cdot λ - λ \cdot 15$

Passaggio 5.5.3.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot 15$

Passaggio 5.5.3.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

Passaggio 5.5.3.6

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

Passaggio 5.5.3.7

Moltiplica $15$ per $- 1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 8 λ^{2} - 15 λ$

Passaggio 5.5.4

Sottrai $8 λ^{2}$ da $- 6 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 15 λ$

Passaggio 5.5.5

Sottrai $15 λ$ da $- 48 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 - λ^{3}$

Passaggio 5.5.6

Sposta $- 90$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 63 λ - λ^{3} - 90$

Passaggio 5.5.7

Sposta $- 63 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - λ^{3} - 63 λ - 90$

Passaggio 5.5.8

Riordina $- 14 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$- λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 = 0$

Passaggio 7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi $- 1$ da $- λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Scomponi $- 1$ da $- λ^{3}$ .

$- (λ^{3}) - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 = 0$

Passaggio 7.1.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 14 λ^{2}$ .

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - 63 λ - 90 = 0$

Passaggio 7.1.1.3

Scomponi $- 1$ da $- 63 λ$ .

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - (63 λ) - 90 = 0$

Passaggio 7.1.1.4

Riscrivi $- 90$ come $- 1 (90)$ .

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - (63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

Passaggio 7.1.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (λ^{3}) - (14 λ^{2})$ .

$- (λ^{3} + 14 λ^{2}) - (63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

Passaggio 7.1.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (λ^{3} + 14 λ^{2}) - (63 λ)$ .

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

Passaggio 7.1.1.7

Scomponi $- 1$ da $- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ) - 1 (90)$ .

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90) = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

$q = \pm 1$

Passaggio 7.1.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

Passaggio 7.1.2.3

Sostituisci $- 3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 3$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.3.1

Sostituisci $- 3$ nel polinomio.

${(- 3)}^{3} + 14 {(- 3)}^{2} + 63 \cdot - 3 + 90$

Passaggio 7.1.2.3.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$- 27 + 14 {(- 3)}^{2} + 63 \cdot - 3 + 90$

Passaggio 7.1.2.3.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$- 27 + 14 \cdot 9 + 63 \cdot - 3 + 90$

Passaggio 7.1.2.3.4

Moltiplica $14$ per $9$ .

$- 27 + 126 + 63 \cdot - 3 + 90$

Passaggio 7.1.2.3.5

Somma $- 27$ e $126$ .

$99 + 63 \cdot - 3 + 90$

Passaggio 7.1.2.3.6

Moltiplica $63$ per $- 3$ .

$99 - 189 + 90$

Passaggio 7.1.2.3.7

Sottrai $189$ da $99$ .

$- 90 + 90$

Passaggio 7.1.2.3.8

Somma $- 90$ e $90$ .

$0$

Passaggio 7.1.2.4

Poiché $- 3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $λ + 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90}{λ + 3}$

Passaggio 7.1.2.5

Dividi $λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ per $λ + 3$ .

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Passaggio 7.1.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$63 λ$

$90$

Passaggio 7.1.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $λ^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$

Passaggio 7.1.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Passaggio 7.1.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $λ^{3} + 3 λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Passaggio 7.1.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

Passaggio 7.1.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$

Passaggio 7.1.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $11 λ^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$

Passaggio 7.1.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					+	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$

Passaggio 7.1.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $11 λ^{2} + 33 λ$

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$

Passaggio 7.1.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$

Passaggio 7.1.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$

Passaggio 7.1.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $30 λ$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$

Passaggio 7.1.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							+	$30 λ$	+	$90$

Passaggio 7.1.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $30 λ + 90$

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							-	$30 λ$	-	$90$

Passaggio 7.1.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							-	$30 λ$	-	$90$
										$0$

Passaggio 7.1.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$λ^{2} + 11 λ + 30$

Passaggio 7.1.2.6

Scrivi $λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ come insieme di fattori.

$- ((λ + 3) (λ^{2} + 11 λ + 30)) = 0$

Passaggio 7.1.3

Scomponi.

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Passaggio 7.1.3.1

Scomponi $λ^{2} + 11 λ + 30$ usando il metodo AC.

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Passaggio 7.1.3.1.1

Scomponi $λ^{2} + 11 λ + 30$ usando il metodo AC.

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Passaggio 7.1.3.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $30$ e la cui somma è $11$ .

$5, 6$

Passaggio 7.1.3.1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- ((λ + 3) ((λ + 5) (λ + 6))) = 0$

Passaggio 7.1.3.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- ((λ + 3) (λ + 5) (λ + 6)) = 0$

Passaggio 7.1.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (λ + 3) (λ + 5) (λ + 6) = 0$

Passaggio 7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$λ + 3 = 0$

$λ + 5 = 0$

$λ + 6 = 0$

Passaggio 7.3

Imposta $λ + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

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Passaggio 7.3.1

Imposta $λ + 3$ uguale a $0$ .

$λ + 3 = 0$

Passaggio 7.3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$λ = - 3$

Passaggio 7.4

Imposta $λ + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

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Passaggio 7.4.1

Imposta $λ + 5$ uguale a $0$ .

$λ + 5 = 0$

Passaggio 7.4.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$λ = - 5$

Passaggio 7.5

Imposta $λ + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

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Passaggio 7.5.1

Imposta $λ + 6$ uguale a $0$ .

$λ + 6 = 0$

Passaggio 7.5.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$λ = - 6$

Passaggio 7.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (λ + 3) (λ + 5) (λ + 6) = 0$ vera.

$λ = - 3, - 5, - 6$