Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $3$ è la matrice quadrata $3 \times 3$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Passaggio 3.2

Sostituisci $I_{3}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.4

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Calcola $| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (2 - λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Espandi $(2 - λ) (2 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (2 - λ) (2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (2 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (2 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Sottrai $2 λ$ da $- 2 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} - 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 4 λ + λ^{2} + 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.3

Riordina $- 4 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.3

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (1 (2 - λ) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Moltiplica $2 - λ$ per $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (2 - λ - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (2 - λ - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.4

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 \cdot 1 - (2 - λ))$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - (2 - λ))$

Passaggio 5.4.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - 1 \cdot 2 - - λ)$

Passaggio 5.4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - 2 - - λ)$

Passaggio 5.4.2.1.4

Moltiplica $- - λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - 2 + 1 λ)$

Passaggio 5.4.2.1.4.2

Moltiplica $λ$ per $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - 2 + λ)$

Passaggio 5.4.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (- 1 + λ)$

Passaggio 5.4.2.3

Riordina $- 1$ e $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Passaggio 5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Espandi $(2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = 2 λ^{2} + 2 (- 4 λ) + 2 \cdot 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Passaggio 5.5.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 2 \cdot 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Passaggio 5.5.1.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Passaggio 5.5.1.2.3

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.3.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Passaggio 5.5.1.2.3.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.3.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Passaggio 5.5.1.2.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Passaggio 5.5.1.2.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Passaggio 5.5.1.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Passaggio 5.5.1.2.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Passaggio 5.5.1.2.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2} - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Passaggio 5.5.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} + 4 λ^{2} - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Passaggio 5.5.1.2.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 λ - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Passaggio 5.5.1.3

Somma $2 λ^{2}$ e $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - 3 λ - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Passaggio 5.5.1.4

Sottrai $3 λ$ da $- 8 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Passaggio 5.5.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} - 1 (- λ) - 1 \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Passaggio 5.5.1.6

Moltiplica $- 1 (- λ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} + 1 λ - 1 \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Passaggio 5.5.1.6.2

Moltiplica $λ$ per $1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} + λ - 1 \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Passaggio 5.5.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} + λ - 1 + 1 (λ - 1)$

Passaggio 5.5.1.8

Moltiplica $λ - 1$ per $1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} + λ - 1 + λ - 1$

Passaggio 5.5.2

Somma $- 11 λ$ e $λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 10 λ + 6 - λ^{3} - 1 + λ - 1$

Passaggio 5.5.3

Somma $- 10 λ$ e $λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 9 λ + 6 - λ^{3} - 1 - 1$

Passaggio 5.5.4

Sottrai $1$ da $6$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 9 λ - λ^{3} + 5 - 1$

Passaggio 5.5.5

Sottrai $1$ da $5$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 9 λ - λ^{3} + 4$

Passaggio 5.5.6

Sposta $- 9 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - λ^{3} - 9 λ + 4$

Passaggio 5.5.7

Riordina $6 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4 = 0$

Passaggio 7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 7.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 7.1.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$- 1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 4$

Passaggio 7.1.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 6 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 4$

Passaggio 7.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + 6 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 4$

Passaggio 7.1.1.3.4

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 + 6 \cdot 1 - 9 \cdot 1 + 4$

Passaggio 7.1.1.3.5

Moltiplica $6$ per $1$ .

$- 1 + 6 - 9 \cdot 1 + 4$

Passaggio 7.1.1.3.6

Somma $- 1$ e $6$ .

$5 - 9 \cdot 1 + 4$

Passaggio 7.1.1.3.7

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$5 - 9 + 4$

Passaggio 7.1.1.3.8

Sottrai $9$ da $5$ .

$- 4 + 4$

Passaggio 7.1.1.3.9

Somma $- 4$ e $4$ .

$0$

Passaggio 7.1.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $λ - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4}{λ - 1}$

Passaggio 7.1.1.5

Dividi $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4$ per $λ - 1$ .

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Passaggio 7.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$9 λ$

$4$

Passaggio 7.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- λ^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$

Passaggio 7.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- λ^{3} + λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$

Passaggio 7.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 λ^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$

Passaggio 7.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$5 λ$

Passaggio 7.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 λ^{2} - 5 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$

Passaggio 7.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$

Passaggio 7.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$

Passaggio 7.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 λ$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$

Passaggio 7.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							-	$4 λ$	+	$4$

Passaggio 7.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 λ + 4$

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							+	$4 λ$	-	$4$

Passaggio 7.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							+	$4 λ$	-	$4$
										$0$

Passaggio 7.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- λ^{2} + 5 λ - 4$

Passaggio 7.1.1.6

Scrivi $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4$ come insieme di fattori.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 5 λ - 4) = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ e la cui somma è $b = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1.1

Scomponi $5$ da $5 λ$ .

$(λ - 1) (- λ^{2} + 5 (λ) - 4) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.1.2

Riscrivi $5$ come $1$ più $4$ .

$(λ - 1) (- λ^{2} + (1 + 4) λ - 4) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 1 λ + 4 λ - 4) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.1.4

Moltiplica $λ$ per $1$ .

$(λ - 1) (- λ^{2} + λ + 4 λ - 4) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(λ - 1) ((- λ^{2} + λ) + 4 λ - 4) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(λ - 1) (λ (- λ + 1) - 4 (- λ + 1)) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- λ + 1$ .

$(λ - 1) ((- λ + 1) (λ - 4)) = 0$

Passaggio 7.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(λ - 1) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$

Passaggio 7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$λ - 1 = 0$

$- λ + 1 = 0$

$λ - 4 = 0$

Passaggio 7.3

Imposta $λ - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Imposta $λ - 1$ uguale a $0$ .

$λ - 1 = 0$

Passaggio 7.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 1$

Passaggio 7.4

Imposta $λ - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Imposta $λ - 4$ uguale a $0$ .

$λ - 4 = 0$

Passaggio 7.4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 4$

Passaggio 7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(λ - 1) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$ vera.

$λ = 1, 4$